10. Решите уравнение: a) 3x²+ 8x-3=0;9x 6) 6x2 - 3x = 0; в) 25х2 = 81; г) х² - 4x2 + 3 = 0 Б) - 4x4 - 4x² + 24 = 0 +4 2. Периметр прямоугольника равен 34 см, а его площадь 60 см². Найдите длины сторон прямоугольника. 3. Разложите квадратный трехчлен на множители: 5x² - 13х + 6 г) 9x² - 12x + 4 5-4x-4x + 24 = 0 2. Периметр прямоугольника ривен

Решение уравнений:

1. a) 3x² + 8x - 3 = 0
   • Вычисляем дискриминант:
   \[D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100\]
   • Находим корни:
   \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3\]
   Ответ: x₁ = 1/3, x₂ = -3
2. б) 6x² - 3x = 0
   • Выносим общий множитель:
   \[3x(2x - 1) = 0\]
   • Находим корни:
   \[3x = 0 \Rightarrow x_1 = 0\] \[2x - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{2}\]
   Ответ: x₁ = 0, x₂ = 1/2
3. в) 25x² = 81
   • Преобразуем уравнение:
   \[25x^2 - 81 = 0\]
   • Используем формулу разности квадратов:
   \[(5x - 9)(5x + 9) = 0\]
   • Находим корни:
   \[5x - 9 = 0 \Rightarrow 5x = 9 \Rightarrow x_1 = \frac{9}{5} = 1.8\] \[5x + 9 = 0 \Rightarrow 5x = -9 \Rightarrow x_2 = -\frac{9}{5} = -1.8\]
   Ответ: x₁ = 1.8, x₂ = -1.8
4. г) x⁴ - 4x² + 3 = 0
   • Делаем замену переменной:
   \[t = x^2\]
   • Получаем квадратное уравнение:
   \[t^2 - 4t + 3 = 0\]
   • Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
   \[D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4\] \[t_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3\] \[t_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1\]
   • Возвращаемся к замене:
   \[x^2 = 3 \Rightarrow x_{1,2} = \pm \sqrt{3}\] \[x^2 = 1 \Rightarrow x_{3,4} = \pm 1\]
   Ответ: x₁ = √3, x₂ = -√3, x₃ = 1, x₄ = -1
5. Б) -4x⁴ - 4x² + 24 = 0
   • Делим на -4:
   \[x^4 + x^2 - 6 = 0\]
   • Делаем замену переменной:
   \[t = x^2\]
   • Получаем квадратное уравнение:
   \[t^2 + t - 6 = 0\]
   • Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
   \[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\] \[t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2\] \[t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3\]
   • Возвращаемся к замене:
   \[x^2 = 2 \Rightarrow x_{1,2} = \pm \sqrt{2}\] \[x^2 = -3 \Rightarrow \text{нет решений, так как } x^2 \ge 0\]
   Ответ: x₁ = √2, x₂ = -√2

Задача про прямоугольник:

• Пусть a и b — длины сторон прямоугольника.
• Периметр прямоугольника:
\[2(a + b) = 34 \Rightarrow a + b = 17\]
• Площадь прямоугольника:
\[ab = 60\]
• Выразим b через a из первого уравнения:
\[b = 17 - a\]
• Подставим во второе уравнение:
\[a(17 - a) = 60 \Rightarrow 17a - a^2 = 60 \Rightarrow a^2 - 17a + 60 = 0\]
• Решаем квадратное уравнение:
\[D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 289 - 240 = 49\] \[a_1 = \frac{17 + \sqrt{49}}{2} = \frac{17 + 7}{2} = \frac{24}{2} = 12\] \[a_2 = \frac{17 - \sqrt{49}}{2} = \frac{17 - 7}{2} = \frac{10}{2} = 5\]
• Если a = 12, то b = 17 - 12 = 5.
• Если a = 5, то b = 17 - 5 = 12.

Разложение квадратных трехчленов на множители:

1. 5x² - 13x + 6
   • Найдем дискриминант:
   \[D = (-13)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 6 = 169 - 120 = 49\]
   • Найдем корни:
   \[x_1 = \frac{13 + \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{13 + 7}{10} = \frac{20}{10} = 2\] \[x_2 = \frac{13 - \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{13 - 7}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 0.6\]
   • Разложим на множители:
   \[5x^2 - 13x + 6 = 5(x - 2)(x - 0.6)\]
   Ответ: 5(x - 2)(x - 0.6)
2. 9x² - 12x + 4
   • Заметим, что это полный квадрат:
   \[9x^2 - 12x + 4 = (3x - 2)^2\]
   Ответ: (3x - 2)²