601. Решите уравнение: a) \(\frac{2x - 5}{x + 5} - 4 = 0;\) б) \(\frac{12}{7-x} = x;\) в) \(\frac{x^2 - 4}{4x} = \frac{3x - 2}{2x};\) г) \(\frac{10}{2x - 3} = x - 1;\) д) \(\frac{8}{x} = 3x + 2;\) e) \(\frac{x^2 + 4x}{x + 2} = \frac{2x}{3};\) ж) \(\frac{2x^2 - 5x + 3}{10x - 5} = 0;\) з) \(\frac{4x^3 - 9x}{x + 1,5} = 0.\)

Решение уравнений:

а) \(\frac{2x - 5}{x + 5} - 4 = 0;\) Умножим обе части уравнения на \(x + 5\) (при условии, что \(x
eq -5\)): \[2x - 5 - 4(x + 5) = 0\] \[2x - 5 - 4x - 20 = 0\] \[-2x - 25 = 0\] \[-2x = 25\] \[x = -\frac{25}{2} = -12.5\] Проверка: \(x = -12.5
eq -5\), следовательно, это решение.

Ответ: \(x = -12.5\)

б) \(\frac{12}{7-x} = x;\) Умножим обе части уравнения на \(7 - x\) (при условии, что \(x
eq 7\)): \[12 = x(7 - x)\] \[12 = 7x - x^2\] \[x^2 - 7x + 12 = 0\] Решим квадратное уравнение: Дискриминант: \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1\) Корни: \[x_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{7 + 1}{2} = 4\] \[x_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{7 - 1}{2} = 3\] Проверка: \(x_1 = 4
eq 7\) и \(x_2 = 3
eq 7\), следовательно, оба являются решениями.

Ответ: \(x_1 = 4, x_2 = 3\)

в) \(\frac{x^2 - 4}{4x} = \frac{3x - 2}{2x};\) Умножим обе части уравнения на \(4x\) (при условии, что \(x
eq 0\)): \[x^2 - 4 = 2(3x - 2)\] \[x^2 - 4 = 6x - 4\] \[x^2 - 6x = 0\] \[x(x - 6) = 0\] \[x_1 = 0, x_2 = 6\] Проверка: \(x
eq 0\), следовательно, \(x_1 = 0\) не является решением, и остается только \(x_2 = 6\).

Ответ: \(x = 6\)

г) \(\frac{10}{2x - 3} = x - 1;\) Умножим обе части уравнения на \(2x - 3\) (при условии, что \(x
eq \frac{3}{2}\)): \[10 = (x - 1)(2x - 3)\] \[10 = 2x^2 - 3x - 2x + 3\] \[2x^2 - 5x + 3 - 10 = 0\] \[2x^2 - 5x - 7 = 0\] Решим квадратное уравнение: Дискриминант: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81\) Корни: \[x_1 = \frac{5 + \sqrt{81}}{4} = \frac{5 + 9}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3.5\] \[x_2 = \frac{5 - \sqrt{81}}{4} = \frac{5 - 9}{4} = \frac{-4}{4} = -1\] Проверка: \(x_1 = 3.5
eq \frac{3}{2}\) и \(x_2 = -1
eq \frac{3}{2}\), следовательно, оба являются решениями.

Ответ: \(x_1 = 3.5, x_2 = -1\)

д) \(\frac{8}{x} = 3x + 2;\) Умножим обе части уравнения на \(x\) (при условии, что \(x
eq 0\)): \[8 = x(3x + 2)\] \[8 = 3x^2 + 2x\] \[3x^2 + 2x - 8 = 0\] Решим квадратное уравнение: Дискриминант: \(D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100\) Корни: \[x_1 = \frac{-2 + \sqrt{100}}{6} = \frac{-2 + 10}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\] \[x_2 = \frac{-2 - \sqrt{100}}{6} = \frac{-2 - 10}{6} = \frac{-12}{6} = -2\] Проверка: \(x_1 = \frac{4}{3}
eq 0\) и \(x_2 = -2
eq 0\), следовательно, оба являются решениями.

Ответ: \(x_1 = \frac{4}{3}, x_2 = -2\)

е) \(\frac{x^2 + 4x}{x + 2} = \frac{2x}{3};\) Умножим обе части уравнения на \(3(x+2)\) (при условии, что \(x
eq -2\)): \[3(x^2 + 4x) = 2x(x + 2)\] \[3x^2 + 12x = 2x^2 + 4x\] \[x^2 + 8x = 0\] \[x(x + 8) = 0\] \[x_1 = 0, x_2 = -8\] Проверка: \(x_1 = 0
eq -2\) и \(x_2 = -8
eq -2\), следовательно, оба являются решениями.

Ответ: \(x_1 = 0, x_2 = -8\)

ж) \(\frac{2x^2 - 5x + 3}{10x - 5} = 0;\) Для того, чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю, а знаменатель не должен быть равен нулю: \[2x^2 - 5x + 3 = 0\] \[10x - 5
eq 0 \Rightarrow x
eq \frac{1}{2}\] Решим квадратное уравнение: Дискриминант: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1\) Корни: \[x_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{4} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\] \[x_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{4} = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1\] Проверка: \(x_1 = \frac{3}{2}
eq \frac{1}{2}\) и \(x_2 = 1
eq \frac{1}{2}\). Но корень \(x_1 = \frac{3}{2}\) не подходит, так как при этом значении числитель не равен нулю (происходит сокращение и деление на ноль становится невозможным).

Ответ: \(x = 1\)

з) \(\frac{4x^3 - 9x}{x + 1,5} = 0.\) Для того, чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю, а знаменатель не должен быть равен нулю: \[4x^3 - 9x = 0\] \[x + 1.5
eq 0 \Rightarrow x
eq -1.5\] Решим уравнение: \[x(4x^2 - 9) = 0\] \[x = 0 \quad \text{или} \quad 4x^2 - 9 = 0\] \[4x^2 = 9\] \[x^2 = \frac{9}{4}\] \[x = \pm \frac{3}{2} = \pm 1.5\] \[x_1 = 0, x_2 = 1.5, x_3 = -1.5\] Проверка: \(x
eq -1.5\), следовательно, \(x_3 = -1.5\) не является решением.

Ответ: \(x_1 = 0, x_2 = 1.5\)

Ответ: См. выше решения для каждого уравнения.

Решение уравнений требует внимательности и аккуратности, но ты справился с этим заданием! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!