Решите уравнение x(x - 5) + 3 x+1 = 3 x+1 +6.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Объединяем дроби с одинаковым знаменателем. Вычитаем \(\frac{3}{x+1}\) из обеих частей уравнения:
   \[ x(x - 5) = 6 \]
2. Шаг 2: Раскрываем скобки в левой части:
   \[ x^2 - 5x = 6 \]
3. Шаг 3: Переносим все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
   \[ x^2 - 5x - 6 = 0 \]
4. Шаг 4: Решаем квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу дискриминанта. По теореме Виета: сумма корней равна 5, произведение — -6. Подбираем корни: 6 и -1.
   Проверка: \(6 + (-1) = 5\) и \(6 \cdot (-1) = -6\).
   Таким образом, корни уравнения: \(x_1 = 6\) и \(x_2 = -1\).
5. Шаг 5: Проверяем, не обращают ли корни знаменатель дроби в ноль. Знаменатель \(x+1\) не должен быть равен нулю, то есть \(x eq -1\).
6. Шаг 6: Поскольку \(x_2 = -1\) обращает знаменатель в ноль, оно является посторонним корнем. Единственным решением уравнения является \(x = 6\).

Ответ: 6