Решите уравнение √(x+5)=x-1.

Решение:

Для решения уравнения \( \sqrt{x+5} = x-1 \) необходимо выполнить следующие шаги:

1. Возвести обе части уравнения в квадрат:
   \( (\sqrt{x+5})^2 = (x-1)^2 \)
   \( x+5 = x^2 - 2x + 1 \)
2. Перенести все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
   \( x^2 - 2x + 1 - x - 5 = 0 \)
   \( x^2 - 3x - 4 = 0 \)
3. Решить полученное квадратное уравнение. Используем формулу дискриминанта:
   \( D = b^2 - 4ac \)
   \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) \)
   \( D = 9 + 16 = 25 \)
   \( \sqrt{D} = \sqrt{25} = 5 \)
4. Найти корни уравнения:
   \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
   \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
5. Проверить найденные корни в исходном уравнении.
   
   • Проверка для x = 4:
     \( \sqrt{4+5} = \sqrt{9} = 3 \)
     \( 4-1 = 3 \)
     \( 3 = 3 \). Корень \( x=4 \) подходит.
   • Проверка для x = -1:
     \( \sqrt{-1+5} = \sqrt{4} = 2 \)
     \( -1-1 = -2 \)
     \( 2 \neq -2 \). Корень \( x=-1 \) не подходит, так как при возведении в квадрат мы могли получить посторонние корни. Кроме того, правая часть уравнения \( x-1 \) должна быть неотрицательной, т.е. \( x-1 \ge 0 \), что означает \( x \ge 1 \).

Ответ: x = 4.