Решите уравнение x-3=√5 - x.

Решение:

Дано уравнение: \( x - 3 = \sqrt{5 - x} \)

1. Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: \( (x - 3)^2 = 5 - x \).
2. Раскроем скобки: \( x^2 - 6x + 9 = 5 - x \).
3. Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 - 6x + x + 9 - 5 = 0 \).
4. Упростим: \( x^2 - 5x + 4 = 0 \).
5. Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \]
6. Найдем корни: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
7. Проверим полученные корни в исходном уравнении \( x - 3 = \sqrt{5 - x} \), так как при возведении в квадрат могли появиться посторонние корни.
8. Для \( x = 4 \): \( 4 - 3 = \sqrt{5 - 4} \) → \( 1 = \sqrt{1} \) → \( 1 = 1 \). Корень \( x = 4 \) подходит.
9. Для \( x = 1 \): \( 1 - 3 = \sqrt{5 - 1} \) → \( -2 = \sqrt{4} \) → \( -2 = 2 \). Это неверно. Корень \( x = 1 \) не подходит.

Ответ: x = 4.