Решите уравнение: √x² + 2x + √x² – 4 = 0

Решение:

Для решения данного уравнения необходимо найти значения \( x \), при которых оно будет верным. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными, и сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только в случае, если оба числа равны нулю.

1. Найдем условия неотрицательности подкоренных выражений:
• \( x^2 + 2x \geq 0 \)
• \( x^2 - 4 \geq 0 \)
2. Решим первое неравенство:
• \( x(x + 2) \geq 0 \)
• Корни: \( x = 0 \) и \( x = -2 \).
• Решение: \( x \in (-\infty, -2] \cup [0, \infty) \)
3. Решим второе неравенство:
• \( x^2 \geq 4 \)
• \( |x| \geq 2 \)
• Решение: \( x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty) \)
4. Найдем пересечение областей допустимых значений:
• \( ( (-\infty, -2] \cup [0, \infty) ) \cap ( (-\infty, -2] \cup [2, \infty) ) \)
• Область допустимых значений: \( x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty) \)
5. Теперь приравняем подкоренные выражения к нулю, так как сумма двух неотрицательных выражений равна нулю только тогда, когда оба выражения равны нулю:
• \( x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x + 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \) или \( x = -2 \)
• \( x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2 \) или \( x = -2 \)
6. Общим решением для обоих уравнений является \( x = -2 \).

Проверим полученное значение \( x = -2 \) в исходном уравнении:

\( \sqrt{(-2)^2 + 2(-2)} + \sqrt{(-2)^2 - 4} = \sqrt{4 - 4} + \sqrt{4 - 4} = \sqrt{0} + \sqrt{0} = 0 \)

Уравнение выполняется.

Ответ: x = -2.