Решите уравнение: $$x^2-8x+\frac{4}{x+1} = \frac{4}{x+1}+9$$. Введите наименьший корень данного уравнения.

Решение уравнения:

Дано уравнение: $$ x^2 - 8x + \frac{4}{x+1} = \frac{4}{x+1} + 9 $$

Сначала заметим, что $$x
eq -1$$, чтобы избежать деления на ноль.

Вычтем $$ \frac{4}{x+1} $$ из обеих частей уравнения:

$$ x^2 - 8x = 9 $$

Перенесем 9 в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$$ x^2 - 8x - 9 = 0 $$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать формулу дискриминанта или теорему Виета.

Используем теорему Виета:

Сумма корней $$x_1 + x_2 = 8$$.

Произведение корней $$x_1 \cdot x_2 = -9$$.

Подбираем пары чисел, произведение которых равно -9:

• 1 и -9 (сумма 1 - 9 = -8)
• -1 и 9 (сумма -1 + 9 = 8)
• 3 и -3 (сумма 0)

Пара чисел -1 и 9 удовлетворяет обоим условиям. Значит, корни уравнения $$x_1 = -1$$ и $$x_2 = 9$$.

Однако, мы помним, что $$x
eq -1$$. Поэтому корень $$x_1 = -1$$ не подходит.

Единственным решением уравнения является $$x = 9$$.

Проверка:

Подставим $$x = 9$$ в исходное уравнение:

$$ 9^2 - 8(9) + \frac{4}{9+1} = \frac{4}{9+1} + 9 $$

$$ 81 - 72 + \frac{4}{10} = \frac{4}{10} + 9 $$

$$ 9 + 0.4 = 0.4 + 9 $$

$$ 9.4 = 9.4 $$

Уравнение выполняется.

Так как единственным корнем является 9, то он же является и наименьшим.

Ответ: 9