Решите уравнение (x^2-16)(x^2+x-12)=0

Решение:

Чтобы решить данное уравнение, необходимо разложить каждый множитель на более простые.

1. Разложим первый множитель \( x^2 - 16 \) как разность квадратов: \( x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) \).
2. Разложим второй множитель \( x^2 + x - 12 \). Для этого найдём корни квадратного уравнения \( x^2 + x - 12 = 0 \). Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \). Корни: \( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 + 7}{2} = 3 \) и \( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 - 7}{2} = -4 \). Следовательно, \( x^2 + x - 12 = (x - 3)(x + 4) \).
3. Подставим разложенные множители обратно в уравнение: \( (x - 4)(x + 4)(x - 3)(x + 4) = 0 \).
4. Упростим уравнение: \( (x - 4)(x - 3)(x + 4)^2 = 0 \).
5. Приравняем каждый множитель к нулю:
• \( x - 4 = 0 \rightharpoonup x = 4 \)
• \( x - 3 = 0 \rightharpoonup x = 3 \)
• \( (x + 4)^2 = 0 \rightharpoonup x + 4 = 0 \rightharpoonup x = -4 \)

Ответ: x = 4, x = 3, x = -4.