69. Решите уравнение: 1) 4x - 9. 2x + 8 = 0; 1 x 2) 9 1 x - 8 3 - 9 = 0; x 2 4) 5x + 1 + 51 - x = 26; 5) 5.5x - 3.5-x = 2; x-2 3)3-2x-7・2 – 20 = 0; - 6)2x-13.22 - 12 = C

Решим уравнение 4)

Давай разберем по порядку:

\[5^{x+1} + 5^{1-x} = 26;\] \[5 \cdot 5^x + 5 \cdot 5^{-x} = 26;\] \[5 \cdot 5^x + \frac{5}{5^x} = 26;\]

Пусть \[t = 5^x\] , тогда уравнение примет вид:

\[5t + \frac{5}{t} = 26;\] \[5t^2 + 5 = 26t;\] \[5t^2 - 26t + 5 = 0;\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576;\] \[t_1 = \frac{26 + \sqrt{576}}{2 \cdot 5} = \frac{26 + 24}{10} = \frac{50}{10} = 5;\] \[t_2 = \frac{26 - \sqrt{576}}{2 \cdot 5} = \frac{26 - 24}{10} = \frac{2}{10} = 0.2;\]

Вернемся к замене:

1) Если \[t = 5\] , то \[5^x = 5\] , откуда \[x = 1\] .

2) Если \[t = 0.2\] , то \[5^x = 0.2\] , \[5^x = \frac{1}{5}\] , \[5^x = 5^{-1}\] , откуда \[x = -1\] .

Ответ: x = 1, x = -1

У тебя все получится!

Решим уравнение 5)

Давай разберем по порядку:

\[5 \cdot 5^x - 3 \cdot 5^{-x} = 2;\]

Пусть \[t = 5^x\] , тогда уравнение примет вид:

\[5t - \frac{3}{t} = 2;\] \[5t^2 - 3 = 2t;\] \[5t^2 - 2t - 3 = 0;\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64;\] \[t_1 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{2 + 8}{10} = \frac{10}{10} = 1;\] \[t_2 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{2 - 8}{10} = \frac{-6}{10} = -0.6;\]

Вернемся к замене:

1) Если \[t = 1\] , то \[5^x = 1\] , откуда \[x = 0\] .

2) Если \[t = -0.6\] , то \[5^x = -0.6\] - нет решений, т.к. показательная функция всегда положительна.

Ответ: x = 0

Продолжай в том же духе!

Решим уравнение 6)

Давай разберем по порядку:

\[2^x - 13 \cdot 2^{\frac{x-2}{2}} - 12 = 0;\] \[2^x - 13 \cdot 2^{\frac{x}{2} - 1} - 12 = 0;\] \[2^x - 13 \cdot \frac{2^{\frac{x}{2}}}{2} - 12 = 0;\]

Пусть \[t = 2^{\frac{x}{2}}\] , тогда \[t^2 = 2^x\] . Уравнение примет вид:

\[t^2 - \frac{13}{2}t - 12 = 0;\] \[2t^2 - 13t - 24 = 0;\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-24) = 169 + 192 = 361;\] \[t_1 = \frac{13 + \sqrt{361}}{2 \cdot 2} = \frac{13 + 19}{4} = \frac{32}{4} = 8;\] \[t_2 = \frac{13 - \sqrt{361}}{2 \cdot 2} = \frac{13 - 19}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5;\]

Вернемся к замене:

1) Если \[t = 8\] , то \[2^{\frac{x}{2}} = 8\] , \[2^{\frac{x}{2}} = 2^3\] , откуда \[\frac{x}{2} = 3\] , \[x = 6\] .

2) Если \[t = -1.5\] , то \[2^{\frac{x}{2}} = -1.5\] - нет решений, т.к. показательная функция всегда положительна.

Ответ: x = 6

Молодец, у тебя все отлично получается!