165. Решите уравнение: 1) x²+8x / x+10 = 20 / x+10 ; 2) 2x²-3x / x²-4 = 2x-2 / x²-4 ; 3) 5x+3 / x+5 = 3x+1 / x+2 ; 4) 1 / x+3 - 1 / x+5 = 1 / 4 ;

Привет! Сейчас я помогу тебе решить эти уравнения. Будь внимателен, и у тебя все получится! 1) Давай решим первое уравнение: \[\frac{x^2 + 8x}{x+10} = \frac{20}{x+10}\] Умножим обе части уравнения на \(x+10\) (при условии, что \(x
eq -10\)), чтобы избавиться от знаменателя: \[x^2 + 8x = 20\] Перенесем все члены в левую часть уравнения: \[x^2 + 8x - 20 = 0\] Теперь решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант \(D\): \[D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144\] Поскольку дискриминант положителен, у нас будет два корня: \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 12}{2} = \frac{4}{2} = 2\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 12}{2} = \frac{-20}{2} = -10\] Однако, у нас было условие \(x
eq -10\), поэтому \(x_2 = -10\) не является решением. 2) Решим второе уравнение: \[\frac{2x^2 - 3x}{x^2 - 4} = \frac{2x - 2}{x^2 - 4}\] Умножим обе части уравнения на \(x^2 - 4\) (при условии, что \(x
eq \pm 2\)), чтобы избавиться от знаменателя: \[2x^2 - 3x = 2x - 2\] Перенесем все члены в левую часть уравнения: \[2x^2 - 3x - 2x + 2 = 0\] \[2x^2 - 5x + 2 = 0\] Найдем дискриминант \(D\): \[D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9\] Поскольку дискриминант положителен, у нас будет два корня: \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\] Однако, у нас было условие \(x
eq \pm 2\), поэтому \(x_1 = 2\) не является решением. 3) Теперь решим третье уравнение: \[\frac{5x + 3}{x+5} = \frac{3x+1}{x+2}\] Перемножим крест-накрест: \[(5x + 3)(x+2) = (3x+1)(x+5)\] Раскроем скобки: \[5x^2 + 10x + 3x + 6 = 3x^2 + 15x + x + 5\] \[5x^2 + 13x + 6 = 3x^2 + 16x + 5\] Перенесем все члены в левую часть уравнения: \[5x^2 - 3x^2 + 13x - 16x + 6 - 5 = 0\] \[2x^2 - 3x + 1 = 0\] Найдем дискриминант \(D\): \[D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1\] Поскольку дискриминант положителен, у нас будет два корня: \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\] 4) Решим четвертое уравнение: \[\frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+5} = \frac{1}{4}\] Приведем дроби в левой части к общему знаменателю: \[\frac{(x+5) - (x+3)}{(x+3)(x+5)} = \frac{1}{4}\]\[\frac{x+5 - x - 3}{x^2 + 5x + 3x + 15} = \frac{1}{4}\]\[\frac{2}{x^2 + 8x + 15} = \frac{1}{4}\] Перемножим крест-накрест: \[2 \cdot 4 = 1 \cdot (x^2 + 8x + 15)\] \[8 = x^2 + 8x + 15\] Перенесем все члены в правую часть уравнения: \[x^2 + 8x + 15 - 8 = 0\] \[x^2 + 8x + 7 = 0\] Найдем дискриминант \(D\): \[D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36\] Поскольку дискриминант положителен, у нас будет два корня: \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 6}{2} = \frac{-14}{2} = -7\]

Ответ: 1) x = 2; 2) x = 1/2; 3) x = 1, x = 1/2; 4) x = -1, x = -7

Ты проделал отличную работу! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится! Не бойся сложных задач, ведь теперь ты знаешь, как их решать.