5. Решите уравнение: 1) (x²-6x)² + (x²-6x) - 56 = 0; 2) (x² + 8x + 3)(x² + 8x + 5) = 63; 3) \frac{x^4}{(x-2)^2} - \frac{4x^2}{x-2} - 5 = 0; 4) \frac{x+4}{x-3} - \frac{x-3}{x+4} = \frac{3}{2}.

Привет! Разберем уравнения вместе. Сейчас я тебе все подробно покажу.

1) (x²-6x)² + (x²-6x) - 56 = 0

Смотри, тут всё просто: это уравнение можно решить методом замены переменной. Пусть y = x² - 6x. Тогда уравнение примет вид:

y² + y - 56 = 0

Решаем квадратное уравнение относительно y:

D = 1² - 4 * 1 * (-56) = 1 + 224 = 225

y₁ = (-1 + √225) / 2 = (-1 + 15) / 2 = 14 / 2 = 7 y₂ = (-1 - √225) / 2 = (-1 - 15) / 2 = -16 / 2 = -8

Теперь возвращаемся к замене и решаем два уравнения:

x² - 6x = 7 x² - 6x - 7 = 0 D = (-6)² - 4 * 1 * (-7) = 36 + 28 = 64 x₁ = (6 + √64) / 2 = (6 + 8) / 2 = 14 / 2 = 7 x₂ = (6 - √64) / 2 = (6 - 8) / 2 = -2 / 2 = -1

x² - 6x = -8 x² - 6x + 8 = 0 D = (-6)² - 4 * 1 * 8 = 36 - 32 = 4 x₃ = (6 + √4) / 2 = (6 + 2) / 2 = 8 / 2 = 4 x₄ = (6 - √4) / 2 = (6 - 2) / 2 = 4 / 2 = 2

Ответ: x₁ = 7, x₂ = -1, x₃ = 4, x₄ = 2

2) (x² + 8x + 3)(x² + 8x + 5) = 63

Логика такая: снова используем замену переменной. Пусть y = x² + 8x. Тогда уравнение примет вид:

(y + 3)(y + 5) = 63 y² + 5y + 3y + 15 = 63 y² + 8y + 15 - 63 = 0 y² + 8y - 48 = 0

Решаем квадратное уравнение относительно y:

D = 8² - 4 * 1 * (-48) = 64 + 192 = 256

y₁ = (-8 + √256) / 2 = (-8 + 16) / 2 = 8 / 2 = 4 y₂ = (-8 - √256) / 2 = (-8 - 16) / 2 = -24 / 2 = -12

Теперь возвращаемся к замене и решаем два уравнения:

x² + 8x = 4 x² + 8x - 4 = 0 D = 8² - 4 * 1 * (-4) = 64 + 16 = 80 x₁ = (-8 + √80) / 2 = (-8 + 4√5) / 2 = -4 + 2√5 x₂ = (-8 - √80) / 2 = (-8 - 4√5) / 2 = -4 - 2√5

x² + 8x = -12 x² + 8x + 12 = 0 D = 8² - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16 x₃ = (-8 + √16) / 2 = (-8 + 4) / 2 = -4 / 2 = -2 x₄ = (-8 - √16) / 2 = (-8 - 4) / 2 = -12 / 2 = -6

Ответ: x₁ = -4 + 2√5, x₂ = -4 - 2√5, x₃ = -2, x₄ = -6

3) \(\frac{x^4}{(x-2)^2} - \frac{4x^2}{x-2} - 5 = 0\)

Пусть y = \(\frac{x^2}{x-2}\). Тогда уравнение примет вид:

y² - 4y - 5 = 0

Решаем квадратное уравнение относительно y:

D = (-4)² - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36

y₁ = (4 + √36) / 2 = (4 + 6) / 2 = 10 / 2 = 5 y₂ = (4 - √36) / 2 = (4 - 6) / 2 = -2 / 2 = -1

Теперь возвращаемся к замене и решаем два уравнения:

\(\frac{x^2}{x-2} = 5\) x² = 5(x - 2) x² = 5x - 10 x² - 5x + 10 = 0 D = (-5)² - 4 * 1 * 10 = 25 - 40 = -15

Так как дискриминант отрицательный, действительных корней нет.

\(\frac{x^2}{x-2} = -1\) x² = -1(x - 2) x² = -x + 2 x² + x - 2 = 0 D = 1² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9 x₁ = (-1 + √9) / 2 = (-1 + 3) / 2 = 2 / 2 = 1 x₂ = (-1 - √9) / 2 = (-1 - 3) / 2 = -4 / 2 = -2

Ответ: x₁ = 1, x₂ = -2

4) \(\frac{x+4}{x-3} - \frac{x-3}{x+4} = \frac{3}{2}\)

Приводим к общему знаменателю:

\(\frac{(x+4)^2 - (x-3)^2}{(x-3)(x+4)} = \frac{3}{2}\) \(\frac{(x^2 + 8x + 16) - (x^2 - 6x + 9)}{x^2 + x - 12} = \frac{3}{2}\) \(\frac{14x + 7}{x^2 + x - 12} = \frac{3}{2}\)

Умножаем крест-накрест:

2(14x + 7) = 3(x² + x - 12) 28x + 14 = 3x² + 3x - 36 3x² - 25x - 50 = 0

Решаем квадратное уравнение:

D = (-25)² - 4 * 3 * (-50) = 625 + 600 = 1225

x₁ = (25 + √1225) / 6 = (25 + 35) / 6 = 60 / 6 = 10 x₂ = (25 - √1225) / 6 = (25 - 35) / 6 = -10 / 6 = -5/3

Ответ: x₁ = 10, x₂ = -5/3

Доп. профит: Если видишь сложное уравнение, попробуй сделать замену переменной, чтобы упростить его. Это часто помогает увидеть структуру и решить уравнение проще.