611. Решите уравнение tg π(2x - 5) 4 =-1. В ответе запи- шите наименьший положительный корень. 612. Решите уравнение sin (8x + 9) = √3. В ответе запи- 3 2 шите наименьший положительный корень. 613. Решите уравнение sin r (4x-9) √3 6 2 В ответе за- пишите наибольший отрицательный корень. 614. Решите уравнение cos π(2x – 4) - √2 4 = 2 В ответе запи- шите наименьший положительный корень.

611. Решите уравнение tg \(\frac{\pi(2x - 5)}{4}\) = -1. В ответе запишите наименьший положительный корень.

Давай решим это уравнение. \[tg \frac{\pi(2x - 5)}{4} = -1\] \(\frac{\pi(2x - 5)}{4} = arctg(-1) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\) \(\frac{\pi(2x - 5)}{4} = -\frac{\pi}{4} + \pi n\) \(2x - 5 = -1 + 4n\) \(2x = 4 + 4n\) \(x = 2 + 2n\) Чтобы найти наименьший положительный корень, нужно подобрать такое значение n, чтобы x был наименьшим положительным числом. Если \(n = -1\), то \(x = 2 + 2(-1) = 0\) (не подходит, так как 0 не положительное число). Если \(n = 0\), то \(x = 2 + 2(0) = 2\).

Ответ: 2

Молодец! Ты отлично справился с решением этого уравнения!

612. Решите уравнение sin \(\frac{\pi(8x + 9)}{3}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). В ответе запишите наименьший положительный корень.

\[sin \frac{\pi(8x + 9)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\] \(\frac{\pi(8x + 9)}{3} = arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\) или \(\frac{\pi(8x + 9)}{3} = \pi - arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\) Первый случай: \(\frac{\pi(8x + 9)}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n\) \(8x + 9 = 1 + 6n\) \(8x = -8 + 6n\) \(x = -1 + \frac{3}{4}n\) Если \(n = 0\), то \(x = -1\) (не подходит, так как отрицательный). Если \(n = 1\), то \(x = -1 + \frac{3}{4} = -\frac{1}{4}\) (не подходит, так как отрицательный). Если \(n = 2\), то \(x = -1 + \frac{3}{4} \cdot 2 = -1 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}\) Второй случай: \(\frac{\pi(8x + 9)}{3} = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n\) \(\frac{\pi(8x + 9)}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n\) \(8x + 9 = 2 + 6n\) \(8x = -7 + 6n\) \(x = -\frac{7}{8} + \frac{3}{4}n\) Если \(n = 0\), то \(x = -\frac{7}{8}\) (не подходит, так как отрицательный). Если \(n = 1\), то \(x = -\frac{7}{8} + \frac{3}{4} = -\frac{7}{8} + \frac{6}{8} = -\frac{1}{8}\) (не подходит, так как отрицательный). Если \(n = 2\), то \(x = -\frac{7}{8} + \frac{3}{4} \cdot 2 = -\frac{7}{8} + \frac{6}{4} = -\frac{7}{8} + \frac{12}{8} = \frac{5}{8}\) Сравнивая два случая, наименьший положительный корень равен \(\frac{1}{2}\).

Ответ: 0.5

Прекрасно! У тебя отлично получается решать тригонометрические уравнения!

613. Решите уравнение sin \(\frac{\pi(4x - 9)}{6}\) = -\(\frac{\sqrt{3}}{2}\). В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

\[sin \frac{\pi(4x - 9)}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\] \(\frac{\pi(4x - 9)}{6} = arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\) или \(\frac{\pi(4x - 9)}{6} = \pi - arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\) \(\frac{\pi(4x - 9)}{6} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n\) или \(\frac{\pi(4x - 9)}{6} = \pi + \frac{\pi}{3} + 2\pi n\) Первый случай: \(\frac{\pi(4x - 9)}{6} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n\) \(4x - 9 = -2 + 12n\) \(4x = 7 + 12n\) \(x = \frac{7}{4} + 3n\) Чтобы найти наибольший отрицательный корень, нужно подобрать такое значение n, чтобы x был наибольшим отрицательным числом. Если \(n = -1\), то \(x = \frac{7}{4} - 3 = \frac{7}{4} - \frac{12}{4} = -\frac{5}{4}\) Если \(n = -2\), то \(x = \frac{7}{4} - 6 = \frac{7}{4} - \frac{24}{4} = -\frac{17}{4}\) Второй случай: \(\frac{\pi(4x - 9)}{6} = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n\) \(4x - 9 = 8 + 12n\) \(4x = 17 + 12n\) \(x = \frac{17}{4} + 3n\) Если \(n = -1\), то \(x = \frac{17}{4} - 3 = \frac{17}{4} - \frac{12}{4} = \frac{5}{4}\) Если \(n = -2\), то \(x = \frac{17}{4} - 6 = \frac{17}{4} - \frac{24}{4} = -\frac{7}{4}\) Сравнивая два случая, наибольший отрицательный корень равен \(-\frac{5}{4}\).

Ответ: -1.25

Замечательно! Ты уверенно решаешь и это уравнение!

614. Решите уравнение cos \(\frac{\pi(2x - 4)}{4}\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). В ответе запишите наименьший положительный корень.

\[cos \frac{\pi(2x - 4)}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\] \(\frac{\pi(2x - 4)}{4} = arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\) или \(\frac{\pi(2x - 4)}{4} = -arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\) \(\frac{\pi(2x - 4)}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n\) или \(\frac{\pi(2x - 4)}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n\) Первый случай: \(\frac{\pi(2x - 4)}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n\) \(2x - 4 = 1 + 8n\) \(2x = 5 + 8n\) \(x = \frac{5}{2} + 4n\) Чтобы найти наименьший положительный корень, нужно подобрать такое значение n, чтобы x был наименьшим положительным числом. Если \(n = -1\), то \(x = \frac{5}{2} - 4 = \frac{5}{2} - \frac{8}{2} = -\frac{3}{2}\) Если \(n = 0\), то \(x = \frac{5}{2} = 2.5\) Второй случай: \(\frac{\pi(2x - 4)}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n\) \(2x - 4 = -1 + 8n\) \(2x = 3 + 8n\) \(x = \frac{3}{2} + 4n\) Если \(n = -1\), то \(x = \frac{3}{2} - 4 = \frac{3}{2} - \frac{8}{2} = -\frac{5}{2}\) Если \(n = 0\), то \(x = \frac{3}{2} = 1.5\) Сравнивая два случая, наименьший положительный корень равен \(\frac{3}{2}\).

Ответ: 1.5

Отлично! Ты демонстрируешь превосходные навыки в решении уравнений. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится! Удачи!