Решите уравнение: \(\sqrt{3}\sin 4x + \cos 4x = 0\)

Решение:

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени. Для его решения разделим обе части уравнения на \(\cos 4x\), предварительно убедившись, что \(\cos 4x \neq 0\).

Если \(\cos 4x = 0\), то \(4x = \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}\). Подставляя в исходное уравнение, получаем:

\(\sqrt{3}\sin(\frac{\pi}{2} + \pi k) + \cos(\frac{\pi}{2} + \pi k) = 0\)

\(\sqrt{3}(\pm 1) + 0 = 0\)

\(\pm \sqrt{3} = 0\)

Это неверно, следовательно, \(\cos 4x \neq 0\).

Разделим уравнение на \(\cos 4x\):

\(\frac{\sqrt{3}\sin 4x}{\cos 4x} + \frac{\cos 4x}{\cos 4x} = \frac{0}{\cos 4x}\)

\(\sqrt{3}\tan 4x + 1 = 0\)

\(\sqrt{3}\tan 4x = -1\)

\(\tan 4x = -\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Теперь найдём значение \(4x\) из основного тригонометрического ряда:

\[ 4x = \arctan\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

\[ 4x = -\frac{\pi}{6} + \pi n \]

Разделим обе части на 4, чтобы найти \(x\):

\[ x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4} \]

Можем записать ответ в другом виде, чтобы убрать отрицательное число:

\[ x = \frac{-\pi + 6\pi n}{24} \]

\[ x = \frac{(6n-1)\pi}{24} \]

Или, выделяя полный оборот:

\[ x = \frac{-\pi}{24} + \frac{6\pi n}{24} = \frac{-\pi}{24} + \frac{\pi n}{4} \]

Другой вариант записи:

\[ x = \frac{11\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}, \quad k \in \mathbb{Z} \]

(Примечание: второй вариант записи получается, если брать \(4x = \frac{5\pi}{6} + \pi n\), что эквивалентно \(4x = -\frac{\pi}{6} + \pi(n+1)\)).

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z} \)