Решите уравнение $$\sqrt{2\cos^3 x - \sin^2 x - 2\cos x - \sin x} = \cos(\frac{\pi}{2} + x)$$.

Question

Вопрос:

Решите уравнение $$\sqrt{2\cos^3 x - \sin^2 x - 2\cos x - \sin x} = \cos(\frac{\pi}{2} + x)$$.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Сначала упростим выражение под корнем и правую часть уравнения.

Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу косинуса суммы:
$$\cos(\frac{\pi}{2} + x) = \cos(\frac{\pi}{2})\cos(x) - \sin(\frac{\pi}{2})\sin(x) = 0 \cdot \cos(x) - 1 \cdot \sin(x) = -\sin(x)$$.
Теперь выражение под корнем. Заметим, что $$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$$.
$$2\cos^3 x - \sin^2 x - 2\cos x - \sin x = 2\cos x (\cos^2 x) - \sin^2 x - 2\cos x - \sin x$$
$$ = 2\cos x (1 - \sin^2 x) - \sin^2 x - 2\cos x - \sin x$$
$$ = 2\cos x - 2\cos x \sin^2 x - \sin^2 x - 2\cos x - \sin x$$
$$ = -2\cos x \sin^2 x - \sin^2 x - \sin x$$
$$ = -\sin^2 x (2\cos x + 1) - \sin x$$.
Уравнение примет вид:
$$\sqrt{-2\cos x \sin^2 x - \sin^2 x - \sin x} = -\sin(x)$$.
Возведем обе части в квадрат. Важно учесть, что правая часть (а значит, и значение под корнем) должна быть неотрицательной: $$- \sin(x) \ge 0$$, то есть $$\sin(x) \le 0$$. Это означает, что $$x$$ находится в III или IV четверти, или на отрицательной части оси $$y$$.
При возведении в квадрат:
$$-2\cos x \sin^2 x - \sin^2 x - \sin x = \sin^2 x$$
$$-2\cos x \sin^2 x - 2\sin^2 x - \sin x = 0$$
$$-\sin x (2\cos x \sin x + 2\sin x + 1) = 0$$.
Из этого уравнения получаем два случая:
Случай 1: $$-\sin x = 0 ⇒ \sin x = 0$$.
Это происходит при $$x = \pi k$$, где $$k$$ — целое число.
Однако, условие $$\sin x \le 0$$ выполняется только при $$x = \pi k$$, где $$k$$ — четное число (например, $$0, \pm 2\pi, \pm 4\pi, ...$$), или при $$x = \pi k$$ где k — нечетное число, но тогда $$\sin x = 0$$.
При $$\sin x = 0$$, правая часть уравнения $$- \sin(x) = 0$$. Левая часть $$\sqrt{2\cos^3 x - 0 - 2\cos x - 0} = \sqrt{2\cos x (\cos^2 x - 1)} = \sqrt{2\cos x (-\sin^2 x)}$$. Если $$\sin x = 0$$, то под корнем будет 0, что допустимо.
$$x = \pi k$$ для всех целых $$k$$.
Но если $$\sin x = 0$$, то $$\cos x = \pm 1$$.
Если $$\cos x = 1$$ (при $$x=2π n$$), то под корнем $$2(1)^3 - 0 - 2(1) - 0 = 0$$.
Если $$\cos x = -1$$ (при $$x=π + 2π n$$), то под корнем $$2(-1)^3 - 0 - 2(-1) - 0 = -2 + 2 = 0$$.
Таким образом, $$x = \pi k$$ — решения.
Случай 2: $$2\cos x \sin x + 2\sin x + 1 = 0$$.
Используя формулу двойного угла $$\sin(2x) = 2\sin x \cos x$$, получим:
$$\sin(2x) + 2\sin x + 1 = 0$$.
Этот случай сложнее для решения аналитически.
Вернемся к: $$-\sin x (2\cos x \sin x + 2\sin x + 1) = 0$$.
Перепишем: $$-\sin x (\sin(2x) + 2\sin x + 1) = 0$$.
Проверим исходное условие: $$\sin x \le 0$$.
При $$x = \pi k$$, $$\sin x = 0$$, что удовлетворяет условию.
Рассмотрим $$2\cos x \sin x + 2\sin x + 1 = 0$$.
$$2\sin x(\cos x + 1) + 1 = 0$$.
Заметим, что $$\cos x + 1 \ge 0$$.
Если $$\sin x = 0$$, то $$1=0$$, что невозможно. Значит $$\sin x
e 0$$.
Тогда $$\sin x = -\frac{1}{2(\cos x + 1)}$$.
Учитывая $$\sin x \le 0$$, мы должны иметь $$\cos x + 1 > 0$$.
$$\sin x$$ может быть $$-1$$ (тогда $$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$$), тогда $$\cos x = 0$$.
$$-1 (2(0)(-1) + 2(-1) + 1) = -1 (-2+1) = 1
e 0$$.
Попробуем преобразовать $$2\sin x(\cos x + 1) + 1 = 0$$ иначе:
$$2\sin x \cos x + 2\sin x + 1 = 0$$.
$$2\sin x \cos x + 1 = -2\sin x$$.
Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от $$\cos x$$:
$$(2\sin x \cos x + 1)^2 = (-2\sin x)^2$$
$$(2\sin x \cos x)^2 + 4\sin x \cos x + 1 = 4\sin^2 x$$
$$4\sin^2 x \cos^2 x + 4\sin x \cos x + 1 = 4\sin^2 x$$.
Заменим $$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$$:
$$4\sin^2 x (1 - \sin^2 x) + 4\sin x \cos x + 1 = 4\sin^2 x$$
$$4\sin^2 x - 4\sin^4 x + 4\sin x \cos x + 1 = 4\sin^2 x$$
$$-4\sin^4 x + 4\sin x \cos x + 1 = 0$$.
Это не упрощает.
Вернемся к $$2\sin x(\cos x + 1) + 1 = 0$$.
Перепишем как $$2\sin x \cos x + 2\sin x + 1 = 0$$.
Из этого уравнения, используя $$\sin x \le 0$$.
Если $$\sin x = -1$$, то $$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$. Тогда $$\cos x = 0$$.
$$2(0)(-1) + 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1
e 0$$.
Если $$\sin x = -0.5$$ (что возможно), то $$x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$$ или $$x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$$.
Для $$x = \frac{7\pi}{6}$$, $$\sin x = -0.5$$, $$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$.
$$2(-\frac{1}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2} + 1) + 1 = -1(-\frac{\sqrt{3}}{2} + 1) + 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 + 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}
e 0$$.
Для $$x = \frac{11\pi}{6}$$, $$\sin x = -0.5$$, $$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$.
$$2(-\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2} + 1) + 1 = -1(\frac{\sqrt{3}}{2} + 1) + 1 = -\frac{\sqrt{3}}{2} - 1 + 1 = -\frac{\sqrt{3}}{2}
e 0$$.
Заметим, что $$2\cos x \sin x + 2\sin x + 1 = \sin(2x) + 2\sin x + 1$$.
Попробуем представить $$2\sin x(\cos x + 1)$$ в виде $$\sin(2x)$$.
$$2\sin x\cos x+2\sin x+1=0$$.
$$2\sin x(1+\cos x)+1=0$$.
По формулам половинного угла: $$\sin x = 2\sin(x/2)\cos(x/2)$$ и $$1+\cos x = 2\cos^2(x/2)$$.
$$2(2\sin(x/2)\cos(x/2))(2\cos^2(x/2)) + 1 = 0$$.
$$8\sin(x/2)\cos^3(x/2) + 1 = 0$$.
Это также сложно.
Вернемся к $$2\sin x \cos x + 2\sin x + 1 = 0$$.
Учитывая, что $$\sin x \le 0$$.
Если $$\sin x = 0$$, то $$1=0$$, что невозможно.
Следовательно, $$\sin x < 0$$.
В этом случае $$- \sin(x) > 0$$.
Попробуем преобразовать $$2\sin x(\cos x + 1) + 1 = 0$$ иначе.
$$2\sin x \cos x + 2\sin x + 1 = 0$$.
$$2\sin x\cos x + 1 = -2\sin x$$.
Возведем в квадрат: $$4\sin^2 x \cos^2 x + 4\sin x \cos x + 1 = 4\sin^2 x$$.
$$4\sin^2 x (1-\sin^2 x) + 4\sin x \cos x + 1 = 4\sin^2 x$$.
$$4\sin^2 x - 4\sin^4 x + 4\sin x \cos x + 1 = 4\sin^2 x$$.
$$-4\sin^4 x + 4\sin x \cos x + 1 = 0$$.
Это не помогает.
Заметим, что $$2\sin x(\cos x + 1) = -1$$.
Рассмотрим график $$y = 2\sin x(\cos x + 1)$$ и $$y = -1$$.
$$y = \sin(2x) + 2\sin x$$.
Когда $$\sin x = -1$$, $$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$. $$\cos x = 0$$.
$$2(-1)(0+1) + 1 = -2+1 = -1$$.
Значит, $$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$ является решением уравнения $$2\sin x(\cos x + 1) + 1 = 0$$.
Проверим условие $$\sin x \le 0$$.
Для $$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$, $$\sin x = -1$$, что удовлетворяет условию.
Таким образом, решениями второго случая являются $$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$.
Объединяем решения первого и второго случая.
Случай 1: $$x = \pi k$$.
Случай 2: $$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$.
Заметим, что $$\frac{3\pi}{2}$$ — это $$\pi + \frac{\pi}{2}$$.
Проверим, попадает ли $$\frac{3\pi}{2}$$ в $$x = \pi k$$.
$$\frac{3\pi}{2} = \pi k ⇒ k = 1.5$$, что не является целым числом.
Значит, это разные серии решений.
Но мы забыли про область определения.
$$\sqrt{2\cos^3 x - \sin^2 x - 2\cos x - \sin x} ≥ 0$$.
И $$\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin x ≥ 0$$, т.е. $$\sin x \le 0$$.
Если $$\sin x = 0$$, то $$x = \pi k$$.
Тогда под корнем: $$2\cos^3 x - 0 - 2\cos x - 0$$.
Если $$k$$ четное, $$x = 2\pi n$$, $$\cos x = 1$$. Под корнем: $$2(1)^3 - 0 - 2(1) - 0 = 0$$.
Если $$k$$ нечетное, $$x = \pi + 2\pi n$$, $$\cos x = -1$$. Под корнем: $$2(-1)^3 - 0 - 2(-1) - 0 = -2 + 2 = 0$$.
В обоих случаях под корнем 0, что допустимо.
Значит, $$x = \pi k$$ — решения.
Теперь рассмотрим $$2\sin x(\cos x + 1) + 1 = 0$$.
Если $$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$, то $$\sin x = -1$$, $$\cos x = 0$$.
$$2(-1)(0+1) + 1 = -2+1 = -1$$.
Это не равно 0.
Значит, $$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$ не является решением.
Ошибку нужно искать в том месте, где мы получили $$2\sin x(\cos x + 1) + 1 = 0$$.
$$-2\cos x \sin^2 x - 2\sin^2 x - \sin x = 0$$.
$$-\sin x (2\cos x \sin x + 2\sin x + 1) = 0$$.
Это было правильное разложение.
Снова проверяем $$2\sin x(\cos x + 1) + 1 = 0$$.
При $$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$: $$\sin x = -1$$, $$\cos x = 0$$.
$$2(-1)(0+1)+1 = -2(1)+1 = -1
e 0$$.
Значит, $$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$ не является корнем.
Посмотрим внимательно: $$-\sin x (2\cos x \sin x + 2\sin x + 1) = 0$$.
Мы имели: $$-2\cos x \sin^2 x - \sin^2 x - \sin x = 0$$.
$$-\sin x(2\cos x ∙ \sin x + \sin x + 1) = 0$$.
Это было $$- \sin^2 x (2\cos x + 1) - \sin x$$.
$$ = -\sin x( \sin x (2\cos x + 1) + 1) = 0$$.
Значит, либо $$\sin x = 0$$, либо $$\sin x (2\cos x + 1) + 1 = 0$$.
Первый случай: $$\sin x = 0$$, $$x = \pi k$$. Эти решения подходят.
Второй случай: $$\sin x (2\cos x + 1) + 1 = 0$$.
$$2\sin x \cos x + \sin x + 1 = 0$$.
$$\sin(2x) + \sin x + 1 = 0$$.
Рассмотрим функцию $$f(x) = \sin(2x) + \sin x + 1$$.
Максимальное значение $$\sin(2x)$$ равно 1, $$\sin x$$ равно 1. Максимум $$f(x)$$ равен 3.
Минимальное значение $$\sin(2x)$$ равно -1, $$\sin x$$ равно -1. Минимум $$f(x)$$ равен -1.
$$f(x) = 0$$ означает, что $$\sin(2x) + \sin x = -1$$.
Мы знаем, что $$\sin(2x) + 2\sin x = 0$$ имело решение $$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$.
Попробуем подставить $$x = \frac{3\pi}{2}$$ в $$\sin(2x) + \sin x + 1 = 0$$.
$$\sin(3\pi) + \sin(\frac{3\pi}{2}) + 1 = 0 + (-1) + 1 = 0$$.
Значит, $$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$ — решение уравнения $$\sin(2x) + \sin x + 1 = 0$$.
Однако, мы должны были проверить условие $$\sin x \le 0$$.
Для $$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$, $$\sin x = -1$$, что удовлетворяет условию.
Проверим также условие, что под корнем должно быть неотрицательное число.
$$\sqrt{2\cos^3 x - \sin^2 x - 2\cos x - \sin x} = -\sin(x)$$.
При $$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$:
$$\cos x = 0$$, $$\sin x = -1$$.
Под корнем: $$2(0)^3 - (-1)^2 - 2(0) - (-1) = 0 - 1 - 0 + 1 = 0$$.
Левая часть: $$\sqrt{0} = 0$$.
Правая часть: $$-(-1) = 1$$.
$$0 = 1$$, что неверно.
Значит, $$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$ не является решением.
Следовательно, единственными решениями являются $$x = \pi k$$.

Ответ: $$x = \pi k$$, где $$k ∈ ℤ$$.