1) Решите уравнение 2sin2x + 5sinx + 2 = 0. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-4π; -5π/2]

Решение:

1. Шаг 1: Решаем тригонометрическое уравнение

   Пусть \( t = \sin x \), тогда уравнение примет вид:

   \[2t^2 + 5t + 2 = 0\]

   Решаем квадратное уравнение:

   \[D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9\]\[t_1 = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\]\[t_2 = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2\]

   Так как \( -1 \leq \sin x \leq 1 \), то \( t_2 = -2 \) не является решением. Значит, у нас есть только:

   \[\sin x = -\frac{1}{2}\]\[x = (-1)^n \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]

   Или, более подробно:

   \[x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\]
2. Шаг 2: Находим корни, принадлежащие отрезку \([-4\pi; -\frac{5\pi}{2}]\)

   Рассмотрим первый случай: \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \)

   Должно выполняться условие:

   \[-4\pi \leq -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \leq -\frac{5\pi}{2}\]

   Делим все части неравенства на \(\pi\):

   \[-4 \leq -\frac{1}{6} + 2k \leq -\frac{5}{2}\]

   Прибавляем \(\frac{1}{6}\) ко всем частям:

   \[-4 + \frac{1}{6} \leq 2k \leq -\frac{5}{2} + \frac{1}{6}\]\[-\frac{23}{6} \leq 2k \leq -\frac{14}{6}\]

   Делим на 2:

   \[-\frac{23}{12} \leq k \leq -\frac{7}{6}\]

   Так как \( k \in \mathbb{Z} \), то единственное подходящее значение \( k = -2 \).

   Тогда корень:

   \[x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi (-2) = -\frac{\pi}{6} - 4\pi = -\frac{25\pi}{6}\]

   Рассмотрим второй случай: \( x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \)

   Должно выполняться условие:

   \[-4\pi \leq -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \leq -\frac{5\pi}{2}\]

   Делим все части неравенства на \(\pi\):

   \[-4 \leq -\frac{5}{6} + 2k \leq -\frac{5}{2}\]

   Прибавляем \(\frac{5}{6}\) ко всем частям:

   \[-4 + \frac{5}{6} \leq 2k \leq -\frac{5}{2} + \frac{5}{6}\]\[-\frac{19}{6} \leq 2k \leq -\frac{10}{6}\]

   Делим на 2:

   \[-\frac{19}{12} \leq k \leq -\frac{5}{6}\]

   Так как \( k \in \mathbb{Z} \), то единственное подходящее значение \( k = -1 \).

   Тогда корень:

   \[x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi (-1) = -\frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{17\pi}{6}\]

Ответ: \( x = -\frac{25\pi}{6}, \quad x = -\frac{17\pi}{6} \)