1) Решите уравнение 2sin2x-√2 sinx-2=0. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-\frac{5π}{2}; -π]

Решаем уравнение:

1. Замена переменной: Пусть \( t = \sin x \), тогда уравнение примет вид: \[ 2t^2 - \sqrt{2}t - 2 = 0 \]
2. Решение квадратного уравнения: Найдем дискриминант: \[ D = (-\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 2 + 16 = 18 \] Корни уравнения: \[ t_1 = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{18}}{4} = \frac{\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{4} = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2} \] \[ t_2 = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{18}}{4} = \frac{\sqrt{2} - 3\sqrt{2}}{4} = \frac{-2\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]
3. Возвращаемся к исходной переменной: \[ \sin x = \sqrt{2} \] Это уравнение не имеет решений, так как \( |\sin x| \le 1 \). \[ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] Решения этого уравнения: \[ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
4. Отбор корней, принадлежащих отрезку \( [-\frac{5\pi}{2}; -\pi] \): Для \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \): \[ -\frac{5\pi}{2} \le -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le -\pi \] \[ -\frac{5}{2} \le -\frac{1}{4} + 2k \le -1 \] \[ -\frac{10}{4} + \frac{1}{4} \le 2k \le -\frac{4}{4} + \frac{1}{4} \] \[ -\frac{9}{4} \le 2k \le -\frac{3}{4} \] \[ -\frac{9}{8} \le k \le -\frac{3}{8} \] Так как \( k \) целое число, \( k = -1 \), тогда \[ x = -\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = -\frac{9\pi}{4} \] Для \( x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \): \[ -\frac{5\pi}{2} \le -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le -\pi \] \[ -\frac{5}{2} \le -\frac{3}{4} + 2k \le -1 \] \[ -\frac{10}{4} + \frac{3}{4} \le 2k \le -\frac{4}{4} + \frac{3}{4} \] \[ -\frac{7}{4} \le 2k \le -\frac{1}{4} \] \[ -\frac{7}{8} \le k \le -\frac{1}{8} \] Так как \( k \) целое число, \( k = -1 \), тогда \[ x = -\frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{3\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = -\frac{11\pi}{4} \]

Ответ: Корни уравнения: -\frac{9\pi}{4}; -\frac{11\pi}{4}