Решите уравнение: sin²(x) - sin(x) = 0 для 0 ≤ x < 2π

Решение:

Данное уравнение можно представить как квадратное относительно \( \sin(x) \). Пусть \( y = \sin(x) \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - y = 0 \]

Вынесем \( y \) за скобки:

\[ y(y - 1) = 0 \]

Это означает, что либо \( y = 0 \), либо \( y - 1 = 0 \), что даёт \( y = 1 \).

Теперь подставим обратно \( \sin(x) \) вместо \( y \):

1. \( \sin(x) = 0 \)

На интервале \( [0, 2\pi) \) это условие выполняется при \( x = 0 \) и \( x = \pi \).

2. \( \sin(x) = 1 \)

На интервале \( [0, 2\pi) \) это условие выполняется при \( x = \frac{\pi}{2} \).

Таким образом, решениями уравнения на заданном интервале являются \( x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi \).

Сравним полученные решения с предложенными вариантами:

• A: \( x = \frac{\pi}{2} \) — неполное решение.
• B: \( x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, 2\pi \) — включает \( 2\pi \), что выходит за рамки интервала \( [0, 2\pi) \).
• C: \( x = 0, \pi \) — неполное решение.
• D: \( x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi \) — полное и корректное решение.

Ответ: D