Решите уравнение: sin x + (cos(x/2) - sin(x/2))(cos(x/2) + sin(x/2)) = 0.

Решение:

Упростим выражение в скобках, используя формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \).

\( \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2} \)

Используем формулу косинуса двойного угла \( \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha \). В нашем случае \( \alpha = \frac{x}{2} \), поэтому \( 2\alpha = x \).

Тогда выражение в скобках равно \( \cos x \).

Исходное уравнение примет вид:

\( \sin x + \cos x = 0 \)

Разделим обе части уравнения на \( \cos x \) (предполагая, что \( \cos x \neq 0 \). Если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = \pm 1 \), и \( \sin x + \cos x \neq 0 \), так что \( \cos x \neq 0 \) — верное предположение).

\( \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0 \)

\( \text{tg } x + 1 = 0 \)

\( \text{tg } x = -1 \)

Общее решение этого уравнения:

\[ x = \text{arctg}(-1) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

\[ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]