Решите уравнение. sin²x + 4cos²x = 4cosx.

Решение:

Данное уравнение: \( \sin^2{x} + 4\cos^2{x} = 4\cos{x} \).

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2{x} = 1 - \cos^2{x} \).

Подставим его в уравнение:

\( (1 - \cos^2{x}) + 4\cos^2{x} = 4\cos{x} \)

Упростим:

\( 1 + 3\cos^2{x} = 4\cos{x} \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( 3\cos^2{x} - 4\cos{x} + 1 = 0 \)

Сделаем замену переменной. Пусть \( t = \cos{x} \). Тогда получим квадратное уравнение:

\( 3t^2 - 4t + 1 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(3)(1) = 16 - 12 = 4 \)

Найдём корни \( t \):

\( t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2(3)} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1 \)

\( t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2(3)} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)

Теперь вернёмся к замене \( t = \cos{x} \).

Случай 1: \( \cos{x} = 1 \)

Общее решение этого уравнения:

\( x = 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число.

Случай 2: \( \cos{x} = \frac{1}{3} \)

Общее решение этого уравнения:

\( x = \pm \arccos{\left(\frac{1}{3}\right)} + 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.

Ответ: \( x = 2\pi n \) и \( x = \pm \arccos{\left(\frac{1}{3}\right)} + 2\pi k \), где \( n, k \) — целые числа.