Решите уравнение: log(x - 1) * (2x^2 - 5x - 3) = 0

Решение:

Данное уравнение является логарифмическим. Для его решения необходимо учесть условия существования логарифма и решить уравнение.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ):
   Для логарифма \( \log_a b \) должно выполняться условие \( b > 0 \). В нашем случае основание логарифма равно 10 (подразумевается, если не указано иное). Аргумент логарифма \( x - 1 \) должен быть больше нуля:
   \[ x - 1 > 0 \]
   \[ x > 1 \]
2. Решим уравнение:
   Уравнение имеет вид \( \log_a b \cdot c = 0 \). Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
   Таким образом, мы имеем два случая:
   Случай 1: Аргумент логарифма равен 1.
   \[ x - 1 = 1 \]
   \[ x = 2 \]
   Проверяем ОДЗ: \( 2 > 1 \). Значение \( x = 2 \) подходит.
   Случай 2: Второй множитель равен нулю.
   \[ 2x^2 - 5x - 3 = 0 \]
   Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
   \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 \]
   Найдем корни:
   \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3 \]
   \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5 \]
   Проверяем ОДЗ для каждого корня:
   Для \( x_1 = 3 \): \( 3 > 1 \). Значение \( x = 3 \) подходит.
   Для \( x_2 = -0.5 \): \( -0.5 \ngtr 1 \). Значение \( x = -0.5 \) не подходит, так как не удовлетворяет ОДЗ.
3. Объединим решения:
   Мы получили два допустимых значения \( x \): 2 и 3.

Ответ: x = 2, x = 3.