Решите уравнение: 4.89. log, (x² - 2x - 8) = 1. 7 4.193. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = 2x³-3x² - 12х + 1 на отрезке [4; 5].

Привет! Давай решим эти задания вместе. Они не такие сложные, как кажутся на первый взгляд!

Давай решим уравнение: \(log_7(x^2 - 2x - 8) = 1\).

Чтобы решить это уравнение, нужно вспомнить определение логарифма. Логарифм по основанию \( a \) от числа \( b \) равен \( c \), если \( a^c = b \). В нашем случае:

\[ 7^1 = x^2 - 2x - 8 \]

\[ 7 = x^2 - 2x - 8 \]

Теперь перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 - 2x - 8 - 7 = 0 \]

\[ x^2 - 2x - 15 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]

В нашем случае \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -15 \). Подставляем:

\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \]

Теперь найдем корни:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x_1 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

\[ x_2 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Итак, у нас два корня: \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = -3 \).

Теперь нужно проверить, удовлетворяют ли эти корни исходному уравнению, то есть, чтобы под логарифмом было положительное число:

Для \( x = 5 \):

\[ 5^2 - 2 \cdot 5 - 8 = 25 - 10 - 8 = 7 > 0 \]

Для \( x = -3 \):

\[ (-3)^2 - 2 \cdot (-3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 > 0 \]

Оба корня подходят.

Теперь давай найдем наибольшее и наименьшее значения функции \( y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1 \) на отрезке \( [4; 5] \).

Сначала найдем производную функции:

\[ y' = 6x^2 - 6x - 12 \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \]

Разделим на 6:

\[ x^2 - x - 2 = 0 \]

Найдем корни этого квадратного уравнения:

\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]

\[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

\[ x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Критические точки: \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -1 \). Но они не входят в отрезок \( [4; 5] \), поэтому нам нужно проверить значения функции только на концах отрезка.

Вычислим \( y(4) \) и \( y(5) \):

\[ y(4) = 2 \cdot 4^3 - 3 \cdot 4^2 - 12 \cdot 4 + 1 = 2 \cdot 64 - 3 \cdot 16 - 48 + 1 = 128 - 48 - 48 + 1 = 33 \]

\[ y(5) = 2 \cdot 5^3 - 3 \cdot 5^2 - 12 \cdot 5 + 1 = 2 \cdot 125 - 3 \cdot 25 - 60 + 1 = 250 - 75 - 60 + 1 = 116 \]

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке \( [4; 5] \) равно 33, а наибольшее значение равно 116.

Ты отлично справляешься! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!