5. Решите уравнение: log3 (x² - 11x + 27) = 2

Для решения уравнения log₃(x² - 11x + 27) = 2, воспользуемся определением логарифма.

3² = x² - 11x + 27.

9 = x² - 11x + 27.

Перенесем все в одну сторону: x² - 11x + 27 - 9 = 0.

x² - 11x + 18 = 0.

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 cdot 1 cdot 18 = 121 - 72 = 49$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + \sqrt{49}}{2} = \frac{11 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - \sqrt{49}}{2} = \frac{11 - 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Проверим, входят ли x = 9 и x = 2 в область определения логарифма:

Для x = 9: 9² - 11 × 9 + 27 = 81 - 99 + 27 = 9 > 0. Значит, x = 9 является решением.

Для x = 2: 2² - 11 × 2 + 27 = 4 - 22 + 27 = 9 > 0. Значит, x = 2 является решением.

Ответ: x = 9 и x = 2