Решите уравнение \( \log_5(14-4x) = \log_2(2x+2) \).

Решение:

Для решения данного уравнения необходимо выполнить следующие шаги:

1. ОДЗ (Область допустимых значений): Аргументы логарифмов должны быть положительными.
• \( 14 - 4x > 0 \) → \( -4x > -14 \) → \( x < \frac{-14}{-4} \) → \( x < 3.5 \)
• \( 2x + 2 > 0 \) → \( 2x > -2 \) → \( x > -1 \)
2. Объединяя условия, получаем: \( -1 < x < 3.5 \).
3. Решение уравнения:
• \( \log_5(14-4x) = \log_2(2x+2) \)
• Данное уравнение содержит логарифмы с разными основаниями, что затрудняет прямое решение. Обычно такие уравнения решаются путем преобразования к одному основанию или использования свойства логарифмов, но в данном случае, без дополнительных преобразований или предположений о равенстве логарифмов нулю, прямое решение нетривиально.
• Однако, если предположить, что оба логарифма равны некоторому значению \( k \), то:
• \( 14 - 4x = 5^k \)
• \( 2x + 2 = 2^k \)
• Из второго уравнения выразим \( 2x \): \( 2x = 2^k - 2 \).
• Тогда \( 14 - 2(2x) = 5^k \) → \( 14 - 2(2^k - 2) = 5^k \) → \( 14 - 2 · 2^k + 4 = 5^k \) → \( 18 - 2^{k+1} = 5^k \).
• Поиск значения \( k \) в этом уравнении является сложной задачей и часто требует графического или численного метода.
• Проверка целочисленных значений из ОДЗ:
• Если \( x = -1 \) (граница ОДЗ), \( 14 - 4(-1) = 18 \), \( 2(-1) + 2 = 0 \). \( \log_5(18) \) и \( \log_2(0) \) (не определено).
• Если \( x = 3.5 \) (граница ОДЗ), \( 14 - 4(3.5) = 0 \), \( 2(3.5) + 2 = 9 \). \( \log_5(0) \) (не определено).
• Рассмотрим случай, когда оба логарифма равны 0.
• \( 14 - 4x = 1 \) → \( -4x = -13 \) → \( x = \frac{13}{4} = 3.25 \).
• \( 2x + 2 = 1 \) → \( 2x = -1 \) → \( x = -0.5 \).
• Значения \( x \) не совпадают, значит, логарифмы не равны 0 одновременно.
• Проверим, могут ли логарифмы быть равны 1.
• \( 14 - 4x = 5^1 = 5 \) → \( -4x = -9 \) → \( x = \frac{9}{4} = 2.25 \).
• \( 2x + 2 = 2^1 = 2 \) → \( 2x = 0 \) → \( x = 0 \).
• Значения \( x \) не совпадают.
• Проверим, могут ли логарифмы быть равны 2.
• \( 14 - 4x = 5^2 = 25 \) → \( -4x = 11 \) → \( x = -\frac{11}{4} = -2.75 \). Это значение вне ОДЗ.
• \( 2x + 2 = 2^2 = 4 \) → \( 2x = 2 \) → \( x = 1 \).
• Значения \( x \) не совпадают.
• Предполагая, что \( x = 1 \), проверим исходное равенство:
• \( \log_5(14 - 4 · 1) = \log_5(10) \).
• \( \log_2(2 · 1 + 2) = \log_2(4) = 2 \).
• \( \log_5(10) \) не равно 2 (так как \( 5^2 = 25 \)).
• Исходя из приведенного решения в тетради, где изображена числовая ось с точкой 3,5, вероятно, предполагается, что решение должно быть найдено в определенных интервалах. Однако, без дальнейших указаний или стандартных методов решения для логарифмических уравнений с разными основаниями, точное аналитическое решение сложно получить.
• Если предположить, что в задаче была опечатка и основания логарифмов должны быть одинаковыми, или же уравнение имеет простой целочисленный корень, который можно найти подбором, то, учитывая ОДЗ \( -1 < x < 3.5 \) и изображенную числовую прямую, скорее всего, искалось конкретное решение.
• Пересмотрим задачу с точки зрения подбора:
• \( x=1 \): \( \log_5(10) \) vs \( \log_2(4) = 2 \). \( 5^2 = 25 \neq 10 \).
• \( x=0 \): \( \log_5(14) \) vs \( \log_2(2) = 1 \). \( 5^1 = 5 \neq 14 \).
• \( x=2 \): \( \log_5(14-8) = \log_5(6) \) vs \( \log_2(4+2) = \log_2(6) \). \( 5^1 \approx 6 \), \( 2^2 \approx 6 \).
• \( x=3 \): \( \log_5(14-12) = \log_5(2) \) vs \( \log_2(6+2) = \log_2(8) = 3 \). \( 5^3 = 125 \neq 2 \).
• Судя по изображению числовой оси с точкой 3,5, возможно, это верхняя граница ОДЗ.
• Без дополнительной информации или коррекции в условии, точное решение данного уравнения в рамках стандартных школьных методов затруднительно.