Решите уравнение \( \log_3 (3x - 6) = \log_3 (2x - 3) \)

Решение:

Чтобы решить уравнение \( \log_3 (3x - 6) = \log_3 (2x - 3) \), сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмов. Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

1. \( 3x - 6 > 0 \)
2. \( 2x - 3 > 0 \)

Решим первое неравенство:

\( 3x > 6 \)

\( x > 2 \)

Решим второе неравенство:

\( 2x > 3 \)

\( x > 1.5 \)

Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: \( x > 2 \).

Теперь решим само уравнение. Так как основания логарифмов одинаковые, приравниваем аргументы:

\( 3x - 6 = 2x - 3 \)

Перенесем члены с \( x \) в одну сторону, а константы — в другую:

\( 3x - 2x = 6 - 3 \)

\( x = 3 \)

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение \( x \) ОДЗ:

\( 3 > 2 \)

Условие выполняется.

Ответ: \( x = 3 \).