Решите уравнение: lg(16 * 5^x / 5) - lg(5 * 0.2^x) = lg(45) - x

Решение:

1. Перепишем уравнение, используя свойства логарифмов:
   \( \lg(16 \cdot 5^x) - \lg(5) - (\lg(5) + \lg(0.2^x)) = \lg(45) - x \)
   \( \lg(16) + \lg(5^x) - \lg(5) - \lg(5) - x \lg(0.2) = \lg(45) - x \)
   \( \lg(16) + x \lg(5) - 2\lg(5) - x \lg(0.2) = \lg(45) - x \)
2. Соберем члены с \( x \) в одну сторону, а остальные в другую:
   \( x \lg(5) - x \lg(0.2) + x = \lg(45) + 2\lg(5) - \lg(16) \)
   \( x (\lg(5) - \lg(0.2) + 1) = \lg(45) + \lg(25) - \lg(16) \)
3. Используем свойства логарифмов \( \lg(a) - \lg(b) = \lg(\frac{a}{b}) \), \( \lg(a) + \lg(b) = \lg(ab) \), \( 1 = \lg(10) \):
   \( x (\lg(\frac{5}{0.2}) + \lg(10)) = \lg(\frac{45 \cdot 25}{16}) \)
   \( x (\lg(25) + \lg(10)) = \lg(\frac{1125}{16}) \)
   \( x \lg(250) = \lg(\frac{1125}{16}) \)
4. Выразим \( x \):
   \( x = \frac{\lg(\frac{1125}{16})}{\lg(250)} \)
5. Подставим значения \( 0.2 = \frac{1}{5} \), \( 45 = 5 \cdot 9 \), \( 16 = 2^4 \), \( 250 = 25 \cdot 10 = 5^2 \cdot 10 \), \( \frac{1125}{16} = \frac{5^3 \cdot 9}{16} \)
6. Упростим выражение:
   \( \lg(0.2) = \lg(\frac{1}{5}) = -\lg(5) \)
7. \( \lg(45) = \lg(9 \cdot 5) = \lg(9) + \lg(5) = 2\lg(3) + \lg(5) \)
8. \( \lg(16) = 4\lg(2) \)
9. \( 2\lg(5) = \lg(25) \)
10. \( x = \frac{\lg(5 \cdot 9) - \lg(0.2^x) - \lg(5) - \lg(16) + x}{\lg(45) - x} \)
11. \( \lg(16 \cdot 5^x) - \lg(5) - \lg(5) - \lg(0.2^x) = \lg(45) - x \)
12. \( \lg(16) + x\lg(5) - 2\lg(5) - x\lg(0.2) = \lg(45) - x \)
13. \( \lg(16) - 2\lg(5) - \lg(45) = x(\lg(0.2) - \lg(5) - 1) \)
14. \( \lg(\frac{16}{25 \cdot 45}) = x(\lg(\frac{0.2}{5}) - 1) \)
15. \( \lg(\frac{16}{1125}) = x(\lg(\frac{1}{25}) - 1) \)
16. \( -\lg(\frac{1125}{16}) = x(-\lg(25) - 1) \)
17. \( -\lg(\frac{1125}{16}) = -x(\lg(25) + 1) \)
18. \( \lg(\frac{1125}{16}) = x(\lg(25) + \lg(10)) \)
19. \( \lg(\frac{1125}{16}) = x\lg(250) \)
20. \( x = \frac{\lg(1125/16)}{\lg(250)} \)
21. \( x = \frac{\lg(70.3125)}{\lg(250)} \)
22. \( x \approx 1.847 \)

Ответ: x = \(\frac{\lg(1125/16)}{\lg(250)}\).