9. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета: a) x2 - 2x - 9 = 0; б) 3t2 - 4t - 4 = 0; B) 2z² + 7z - 6 = 0; г) 2t² + 9t + 8 = 0.

Привет! Сейчас мы вместе решим эти уравнения, используя теорему Виета и обратную теорему Виета. Будет интересно и познавательно!

a) x² - 2x - 9 = 0

Для начала найдем дискриминант D, чтобы убедиться, что уравнение имеет корни:

\[D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 4 + 36 = 40\]

Так как D > 0, уравнение имеет два различных корня. Найдем корни:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{40}}{2} = \frac{2 + 2\sqrt{10}}{2} = 1 + \sqrt{10}\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{40}}{2} = \frac{2 - 2\sqrt{10}}{2} = 1 - \sqrt{10}\]

Теперь проверим по теореме Виета:

\[x_1 + x_2 = (1 + \sqrt{10}) + (1 - \sqrt{10}) = 2 = -\frac{b}{a}\] \[x_1 \cdot x_2 = (1 + \sqrt{10})(1 - \sqrt{10}) = 1 - 10 = -9 = \frac{c}{a}\]

Теорема Виета выполняется.

б) 3t² - 4t - 4 = 0

Найдем дискриминант D:

\[D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64\]

Так как D > 0, уравнение имеет два различных корня. Найдем корни:

\[t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{64}}{6} = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2\] \[t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{64}}{6} = \frac{4 - 8}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}\]

Теперь проверим по теореме Виета:

\[t_1 + t_2 = 2 + \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} = -\frac{b}{a}\] \[t_1 \cdot t_2 = 2 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{4}{3} = \frac{c}{a}\]

Теорема Виета выполняется.

в) 2z² + 7z - 6 = 0

Найдем дискриминант D:

\[D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 49 + 48 = 97\]

Так как D > 0, уравнение имеет два различных корня. Найдем корни:

\[z_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{97}}{4}\] \[z_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{97}}{4}\]

Теперь проверим по теореме Виета:

\[z_1 + z_2 = \frac{-7 + \sqrt{97}}{4} + \frac{-7 - \sqrt{97}}{4} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} = -\frac{b}{a}\] \[z_1 \cdot z_2 = \frac{-7 + \sqrt{97}}{4} \cdot \frac{-7 - \sqrt{97}}{4} = \frac{49 - 97}{16} = \frac{-48}{16} = -3 = \frac{c}{a}\]

Теорема Виета выполняется.

г) 2t² + 9t + 8 = 0

Найдем дискриминант D:

\[D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = 81 - 64 = 17\]

Так как D > 0, уравнение имеет два различных корня. Найдем корни:

\[t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{17}}{4}\] \[t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{17}}{4}\]

Теперь проверим по теореме Виета:

\[t_1 + t_2 = \frac{-9 + \sqrt{17}}{4} + \frac{-9 - \sqrt{17}}{4} = \frac{-18}{4} = -\frac{9}{2} = -\frac{b}{a}\] \[t_1 \cdot t_2 = \frac{-9 + \sqrt{17}}{4} \cdot \frac{-9 - \sqrt{17}}{4} = \frac{81 - 17}{16} = \frac{64}{16} = 4 = \frac{c}{a}\]

Теорема Виета выполняется.

Ответ: a) x₁ = 1 + √10, x₂ = 1 - √10; б) t₁ = 2, t₂ = -2/3; в) z₁ = (-7 + √97)/4, z₂ = (-7 - √97)/4; г) t₁ = (-9 + √17)/4, t₂ = (-9 - √17)/4.

Отлично! Ты справился с этими уравнениями. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!