Решите уравнение (х-2) (x² + 8x + 16) = 7 (x + 4). Решите уравнение х (x² + 4x + 4) = 3 (x + 2). Решите уравнение (x - 2) (x² + 2x + 1) = 4 (x + 1). Решите уравнение (x - 2) (x² + 6x + 9) = 6 (x + 3). Решите уравнение (х+2)⁴ - 4(x + 2)² - 5 = 0. Решите уравнение (х + 1)⁴ + (x + 1)² - 6 = 0. Решите уравнение (х + 3)⁴ + 2(x + 3)² - 8 = 0. Решите уравнение (х – 1)⁴ - 2(x - 1)² — 3 = 0.

Решение первого уравнения: (x-2)(x²+8x+16) = 7(x+4)

Заметим, что x² + 8x + 16 = (x+4)², поэтому уравнение можно переписать как:

\[(x-2)(x+4)^2 = 7(x+4)\]

Перенесем все в одну сторону:

\[(x-2)(x+4)^2 - 7(x+4) = 0\]

Вынесем (x+4) за скобки:

\[(x+4)((x-2)(x+4) - 7) = 0\]

Раскроем скобки:

\[(x+4)(x^2 + 4x - 2x - 8 - 7) = 0\] \[(x+4)(x^2 + 2x - 15) = 0\]

Разложим квадратный трехчлен на множители:

x² + 2x - 15 = (x+5)(x-3)

Таким образом, уравнение принимает вид:

\[(x+4)(x+5)(x-3) = 0\]

Корни этого уравнения:

\[x_1 = -4, \quad x_2 = -5, \quad x_3 = 3\]

Ответ: x = -4, -5, 3

Решение второго уравнения: x(x² + 4x + 4) = 3(x + 2)

Заметим, что x² + 4x + 4 = (x+2)², поэтому уравнение можно переписать как:

\[x(x+2)^2 = 3(x+2)\]

Перенесем все в одну сторону:

\[x(x+2)^2 - 3(x+2) = 0\]

Вынесем (x+2) за скобки:

\[(x+2)(x(x+2) - 3) = 0\]

Раскроем скобки:

\[(x+2)(x^2 + 2x - 3) = 0\]

Разложим квадратный трехчлен на множители:

x² + 2x - 3 = (x+3)(x-1)

Таким образом, уравнение принимает вид:

\[(x+2)(x+3)(x-1) = 0\]

Корни этого уравнения:

\[x_1 = -2, \quad x_2 = -3, \quad x_3 = 1\]

Ответ: x = -2, -3, 1

Решение третьего уравнения: (x - 2) (x² + 2x + 1) = 4 (x + 1)

Заметим, что x² + 2x + 1 = (x+1)², поэтому уравнение можно переписать как:

\[(x-2)(x+1)^2 = 4(x+1)\]

Перенесем все в одну сторону:

\[(x-2)(x+1)^2 - 4(x+1) = 0\]

Вынесем (x+1) за скобки:

\[(x+1)((x-2)(x+1) - 4) = 0\]

Раскроем скобки:

\[(x+1)(x^2 + x - 2x - 2 - 4) = 0\] \[(x+1)(x^2 - x - 6) = 0\]

Разложим квадратный трехчлен на множители:

x² - x - 6 = (x-3)(x+2)

Таким образом, уравнение принимает вид:

\[(x+1)(x-3)(x+2) = 0\]

Корни этого уравнения:

\[x_1 = -1, \quad x_2 = 3, \quad x_3 = -2\]

Ответ: x = -1, 3, -2

Решение четвертого уравнения: (x - 2) (x² + 6x + 9) = 6 (x + 3)

Заметим, что x² + 6x + 9 = (x+3)², поэтому уравнение можно переписать как:

\[(x-2)(x+3)^2 = 6(x+3)\]

Перенесем все в одну сторону:

\[(x-2)(x+3)^2 - 6(x+3) = 0\]

Вынесем (x+3) за скобки:

\[(x+3)((x-2)(x+3) - 6) = 0\]

Раскроем скобки:

\[(x+3)(x^2 + 3x - 2x - 6 - 6) = 0\] \[(x+3)(x^2 + x - 12) = 0\]

Разложим квадратный трехчлен на множители:

x² + x - 12 = (x+4)(x-3)

Таким образом, уравнение принимает вид:

\[(x+3)(x+4)(x-3) = 0\]

Корни этого уравнения:

\[x_1 = -3, \quad x_2 = -4, \quad x_3 = 3\]

Ответ: x = -3, -4, 3

Решение пятого уравнения: (x+2)⁴ - 4(x + 2)² - 5 = 0

Обозначим y = (x+2)², тогда уравнение принимает вид:

\[y^2 - 4y - 5 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно y:

D = (-4)² - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36

\[y_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}\]

y₁ = (4 + 6) / 2 = 5

y₂ = (4 - 6) / 2 = -1

Вернемся к переменной x:

(x+2)² = 5

x + 2 = ±√5

\[x_1 = -2 + \sqrt{5}, \quad x_2 = -2 - \sqrt{5}\]

(x+2)² = -1

x + 2 = ±√(-1)

x + 2 = ±i

\[x_3 = -2 + i, \quad x_4 = -2 - i\]

Ответ: x = -2 + √5, -2 - √5, -2 + i, -2 - i

Решение шестого уравнения: (x + 1)⁴ + (x + 1)² - 6 = 0

Обозначим y = (x+1)², тогда уравнение принимает вид:

\[y^2 + y - 6 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно y:

D = 1² - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25

\[y_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}\]

y₁ = (-1 + 5) / 2 = 2

y₂ = (-1 - 5) / 2 = -3

Вернемся к переменной x:

(x+1)² = 2

x + 1 = ±√2

\[x_1 = -1 + \sqrt{2}, \quad x_2 = -1 - \sqrt{2}\]

(x+1)² = -3

x + 1 = ±√(-3)

x + 1 = ±i√3

\[x_3 = -1 + i\sqrt{3}, \quad x_4 = -1 - i\sqrt{3}\]

Ответ: x = -1 + √2, -1 - √2, -1 + i√3, -1 - i√3

Решение седьмого уравнения: (x + 3)⁴ + 2(x + 3)² - 8 = 0

Обозначим y = (x+3)², тогда уравнение принимает вид:

\[y^2 + 2y - 8 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно y:

D = 2² - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36

\[y_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}\]

y₁ = (-2 + 6) / 2 = 2

y₂ = (-2 - 6) / 2 = -4

Вернемся к переменной x:

(x+3)² = 2

x + 3 = ±√2

\[x_1 = -3 + \sqrt{2}, \quad x_2 = -3 - \sqrt{2}\]

(x+3)² = -4

x + 3 = ±√(-4)

x + 3 = ±2i

\[x_3 = -3 + 2i, \quad x_4 = -3 - 2i\]

Ответ: x = -3 + √2, -3 - √2, -3 + 2i, -3 - 2i

Решение восьмого уравнения: (x – 1)⁴ - 2(x - 1)² - 3 = 0

Обозначим y = (x-1)², тогда уравнение принимает вид:

\[y^2 - 2y - 3 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно y:

D = (-2)² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16

\[y_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}\]

y₁ = (2 + 4) / 2 = 3

y₂ = (2 - 4) / 2 = -1

Вернемся к переменной x:

(x-1)² = 3

x - 1 = ±√3

\[x_1 = 1 + \sqrt{3}, \quad x_2 = 1 - \sqrt{3}\]

(x-1)² = -1

x - 1 = ±√(-1)

x - 1 = ±i

\[x_3 = 1 + i, \quad x_4 = 1 - i\]

Ответ: x = 1 + √3, 1 - √3, 1 + i, 1 - i