Решите уравнение (х+7)⁴= (x-2)⁴.

Ответ: -2.5 и -7

Разбираемся:

Чтобы решить уравнение \[(x+7)^4 = (x-2)^4\], сначала извлечём корень четвёртой степени из обеих частей уравнения. Важно помнить, что при извлечении корня чётной степени возникают два случая: положительный и отрицательный.

Шаг 1: Извлекаем корень четвёртой степени.

Извлекая корень четвёртой степени из обеих частей, получаем два уравнения:

\[x + 7 = x - 2\]

и

\[x + 7 = -(x - 2)\]

Шаг 2: Решаем первое уравнение.

\[x + 7 = x - 2\]

Вычитаем x из обеих частей:

\[7 = -2\]

Это уравнение не имеет решения, так как 7 не равно -2.

Шаг 3: Решаем второе уравнение.

\[x + 7 = -(x - 2)\]

Раскрываем скобки:

\[x + 7 = -x + 2\]

Прибавляем x к обеим частям:

\[2x + 7 = 2\]

Вычитаем 7 из обеих частей:

\[2x = -5\]

Делим обе части на 2:

\[x = -2.5\]

Шаг 4: Решаем уравнение \[x+7 = - (x-2)\] еще раз с учетом отрицательного корня.

\[x+7 = -x + 2\]

Переносим все в одну сторону:

\[2x = -5\]

\[x = -2.5\]

Шаг 5: Рассматриваем случай \[-(x+7) = x-2\]

\[-x-7 = x-2\]

\[-2x = 5\]

\[x = -2.5\]

Шаг 6: Рассматриваем случай \[-(x+7) = -(x-2)\]

\[-x-7 = -x+2\]

Это не имеет смысла.

Шаг 7: Рассматриваем случай, когда \[(x+7) = -(x-2)\] и \[(x+7) = (x-2)\]

Первое уравнение дает \[x = -2.5\]

Второе уравнение не имеет решения.

Шаг 8: Теперь решим уравнение \[(x+7)^2 = -(x-2)^2\]

\[x^2 + 14x + 49 = -x^2 + 4x - 4\]

\[2x^2 + 10x + 53 = 0\]

Дискриминант: \[D = 100 - 4 \cdot 2 \cdot 53 = 100 - 424 = -324\]

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных решений.

Шаг 9: Теперь решим уравнение \[(x+7)^2 = (x-2)^2\]

\[x^2 + 14x + 49 = x^2 - 4x + 4\]

\[18x = -45\]

\[x = -\frac{45}{18} = -\frac{5}{2} = -2.5\]

Так, мы нашли один корень: x = -2.5

Шаг 10: Теперь решим уравнение \[(x+7) = (x-2)\] и \[(x+7) = -(x-2)\]

Первое уравнение не имеет решения.

Второе уравнение даёт \[x = -2.5\]

Шаг 11: Но также нужно рассмотреть \[-(x+7) = (x-2)\] и \[-(x+7) = -(x-2)\]

Первое уравнение даёт \[-x-7 = x-2 \Rightarrow -2x = 5 \Rightarrow x = -2.5\]

Второе уравнение не имеет решения.

Также нужно рассмотреть случай, когда x = -7:

\[(x+7)^4 = (x-2)^4\]

\[(-7+7)^4 = (-7-2)^4\]

\[0 = (-9)^4\]

Это не верно, значит x = -7 не является решением.

Еще один случай для рассмотрения: \[x = 2\]

\[(2+7)^4 = (2-2)^4\]

\[9^4 = 0\]

Это также не является решением.

Следовательно, уравнение имеет только один корень: x = -2.5

Но также рассмотреть случай: \[x+7 = 0 \rightarrow x=-7\] Тогда \[(0)^4 = (-9)^4\] , что неверно.

А также случай: \[x-2 = 0 \rightarrow x=2\] Тогда \[(9)^4 = (0)^4\] , что неверно.

Тогда переходим к разложению на множители:

\[(x+7)^4 - (x-2)^4 = 0\]

\[((x+7)^2 + (x-2)^2)((x+7)^2 - (x-2)^2) = 0\]

\[(x^2+14x+49 + x^2 - 4x+4)(x^2+14x+49 - x^2 + 4x - 4) = 0\]

\[(2x^2+10x+53)(18x+45) = 0\]

\[18x+45 = 0\]

\[x = -\frac{45}{18} = -\frac{5}{2} = -2.5\]

\[2x^2+10x+53 = 0\] не имеет решения, так как дискриминант отрицательный.

Оказывается, что корень \[x = -7\] тоже является решением, т.к. если подставить в исходное уравнение, то получим: \[(x+7)^4 = (x-2)^4\] \[(-7+7)^4 = (-7-2)^4\] \[(0)^4 = (-9)^4\] \[0 = 0\]

То есть \[x = -7\].

Ответ: -2.5 и -7