Решите уравнение: \(\frac{x}{x^2-3x+2}+\frac{5x}{x^2+x+2}=2\).

ОДЗ: \(x^2-3x+2\ne0\), поэтому \(x\ne1\) и \(x\ne2\). Второй знаменатель всегда положителен, так как \(x^2+x+2=(x+\frac12)^2+\frac74>0\).

Умножим уравнение на общий знаменатель:

\[x(x^2+x+2)+5x(x^2-3x+2)=2(x^2-3x+2)(x^2+x+2).\]

Раскроем скобки:

\[6x^3-14x^2+12x=2(x^4-2x^3+x^2-4x+4).\]

Перенесём всё в левую часть и разделим на \(2\):

\[x^4-5x^3+8x^2-10x+4=0.\]

Разложим многочлен на множители:

\[(x^2-x+2)(x^2-4x+2)=0.\]

Уравнение \(x^2-x+2=0\) не имеет действительных корней, поскольку его дискриминант равен \(-7\).

Решим второе уравнение:

\[x^2-4x+2=0,\qquad x=\frac{4\pm\sqrt{16-8}}2=2\pm\sqrt2.\]

Оба корня принадлежат ОДЗ.

Ответ: \(x_1=2-\sqrt2\), \(x_2=2+\sqrt2\).