Решите уравнение: \( \frac{x}{x-1} - \frac{5}{x+1} = \frac{2}{x^2-1} \)

Задание 1. Решение уравнения

Дано: уравнение \( \frac{x}{x-1} - \frac{5}{x+1} = \frac{2}{x^2-1} \).

Найти: значение \( x \).

Решение:

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю.
• \( x-1
  eq 0 \rightarrow x
  eq 1 \)
• \( x+1
  eq 0 \rightarrow x
  eq -1 \)
• \( x^2-1 = (x-1)(x+1)
  eq 0 \rightarrow x
  eq 1 \) и \( x
  eq -1 \)
2. Таким образом, ОДЗ: \( x
   eq 1 \) и \( x
   eq -1 \).
3. Приведём все дроби к общему знаменателю \( x^2-1 \).
4. Умножим первое слагаемое на \( (x+1) \), второе на \( (x-1) \):

\( \frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{5(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{2}{x^2-1} \)

\( \frac{x^2+x}{x^2-1} - \frac{5x-5}{x^2-1} = \frac{2}{x^2-1} \)

Поскольку знаменатели одинаковы и не равны нулю (по ОДЗ), можем приравнять числители:

\( x^2+x - (5x-5) = 2 \)

Раскроем скобки и приведём подобные члены:

\( x^2 + x - 5x + 5 = 2 \)

\( x^2 - 4x + 5 = 2 \)

Перенесём всё в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 - 4x + 5 - 2 = 0 \)

\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета.

Используем дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac \)

\( D = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{4} = 2 \)

Найдем корни уравнения:

\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)

\( x_1 = \frac{-(-4) + 2}{2(1)} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)\( x_2 = \frac{-(-4) - 2}{2(1)} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

Проверим полученные корни с ОДЗ:

• \( x_1 = 3 \) — подходит, так как \( 3
  eq 1 \) и \( 3
  eq -1 \).
• \( x_2 = 1 \) — не подходит, так как \( 1 \) исключено из ОДЗ.

Ответ: x = 3.