Решите уравнение: \( \frac{x-2}{x+1} - \frac{5}{1-x} = \frac{x^2+27}{x^2-1} \)

Решение:

Приведем уравнение к общему знаменателю \( x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \).

1. Уравнение имеет смысл при \( x \neq 1 \) и \( x \neq -1 \).
2. Перепишем уравнение: \( \frac{x-2}{x+1} + \frac{5}{x-1} = \frac{x^2+27}{(x-1)(x+1)} \).
3. Умножим обе части на \( (x-1)(x+1) \): \( (x-2)(x-1) + 5(x+1) = x^2 + 27 \).
4. Раскроем скобки: \( x^2 - x - 2x + 2 + 5x + 5 = x^2 + 27 \).
5. \( x^2 + 2x + 7 = x^2 + 27 \).
6. Вычтем \( x^2 \) из обеих частей: \( 2x + 7 = 27 \).
7. \( 2x = 20 \).
8. \( x = 10 \).
9. Так как \( x = 10 \) не равно \( 1 \) и \( -1 \), это решение подходит.

Ответ: x = 10.