Решите уравнение: \(\frac{3x-2}{x-1} - \frac{2x+3}{x+3} = \frac{12x+4}{x^2+2x-3}\) Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Решение:

Для начала преобразуем знаменатель правой части уравнения: \( x^2+2x-3 = (x-1)(x+3) \).

Теперь запишем исходное уравнение с общим знаменателем \( (x-1)(x+3) \):

\[ \frac{(3x-2)(x+3)}{(x-1)(x+3)} - \frac{(2x+3)(x-1)}{(x-1)(x+3)} = \frac{12x+4}{(x-1)(x+3)} \]

Умножим обе части уравнения на \( (x-1)(x+3) \), предварительно указав, что \( x \neq 1 \) и \( x \neq -3 \).

\[ (3x-2)(x+3) - (2x+3)(x-1) = 12x+4 \]

Раскроем скобки:

\[ (3x^2 + 9x - 2x - 6) - (2x^2 - 2x + 3x - 3) = 12x+4 \]

Упростим выражение:

\[ 3x^2 + 7x - 6 - (2x^2 + x - 3) = 12x+4 \]

Раскроем вторую скобку:

\[ 3x^2 + 7x - 6 - 2x^2 - x + 3 = 12x+4 \]

Приведём подобные члены:

\[ x^2 + 6x - 3 = 12x+4 \]

Перенесём все члены в левую часть:

\[ x^2 + 6x - 12x - 3 - 4 = 0 \]

Получим квадратное уравнение:

\[ x^2 - 6x - 7 = 0 \]

Решим квадратное уравнение, например, с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 \]

Найдём корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7 \]
\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Оба корня \( 7 \) и \( -1 \) не равны \( 1 \) и \( -3 \), поэтому являются решениями исходного уравнения.

Так как уравнение имеет два корня, в ответе нужно указать меньший из них.

Ответ: -1