Решите уравнение \(\frac{3}{x^2 - 4x + 1} - x^2 = 3 - 4x\). Если корней несколько, то в ответе укажите меньший из них.

Решение:

1. Перегруппируем члены уравнения:

   Выделим в правой части выражение, похожее на знаменатель левой части:

   \[ \frac{3}{x^2 - 4x + 1} - x^2 = 3 - 4x \]

   Перенесем все члены в левую часть:

   \[ \frac{3}{x^2 - 4x + 1} - x^2 - 3 + 4x = 0 \]

   Сгруппируем члены:

   \[ \frac{3}{x^2 - 4x + 1} - (x^2 - 4x + 3) = 0 \]

2. Введем замену переменной:

   Пусть $$t = x^2 - 4x + 1$$. Тогда $$x^2 - 4x + 3 = t - 2$$.

   Уравнение примет вид:

   \[ \frac{3}{t} - (t - 2) = 0 \]

3. Решим полученное уравнение относительно t:

   \[ \frac{3}{t} - t + 2 = 0 \]

   Умножим обе части на $$t$$ (при условии $$t
   eq 0$$):

   \[ 3 - t^2 + 2t = 0 \]

   Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

   \[ t^2 - 2t - 3 = 0 \]

   Найдем корни уравнения $$t$$ с помощью дискриминанта или по теореме Виета:

   $$D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$$

   $$t_1 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1$$

   $$t_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$$

   Оба значения $$t$$ не равны нулю, что удовлетворяет условию $$t
   eq 0$$.

4. Вернемся к переменной x:

   Случай 1: $$t = -1$$

   \[ x^2 - 4x + 1 = -1 \]

   \[ x^2 - 4x + 2 = 0 \]

   Найдем корни этого квадратного уравнения:

   $$D = (-4)^2 - 4(1)(2) = 16 - 8 = 8$$

   $$x_1 = \frac{4 - \sqrt{8}}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{2}}{2} = 2 - \sqrt{2}$$

   $$x_2 = \frac{4 + \sqrt{8}}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{2}}{2} = 2 + \sqrt{2}$$

   Случай 2: $$t = 3$$

   \[ x^2 - 4x + 1 = 3 \]

   \[ x^2 - 4x - 2 = 0 \]

   Найдем корни этого квадратного уравнения:

   $$D = (-4)^2 - 4(1)(-2) = 16 + 8 = 24$$

   $$x_3 = \frac{4 - \sqrt{24}}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{6}}{2} = 2 - \sqrt{6}$$

   $$x_4 = \frac{4 + \sqrt{24}}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{6}}{2} = 2 + \sqrt{6}$$

5. Определим меньший корень:

   У нас есть четыре корня: $$2 - \sqrt{2}$$, $$2 + \sqrt{2}$$, $$2 - \sqrt{6}$$, $$2 + \sqrt{6}$$.

   Сравним значения:

   • $$\\( \sqrt{2} \approx 1.414 \)$$
   • $$\\( \sqrt{6} \approx 2.449 \)$$

   Тогда:

   • $$2 - \sqrt{2} \approx 2 - 1.414 = 0.586$$
   • $$2 + \sqrt{2} \approx 2 + 1.414 = 3.414$$
   • $$2 - \sqrt{6} \approx 2 - 2.449 = -0.449$$
   • $$2 + \sqrt{6} \approx 2 + 2.449 = 4.449$$

   Наименьшее значение среди этих четырех чисел — $$-0.449$$, что соответствует $$2 - \sqrt{6}$$.

Ответ: $$2 - \sqrt{6}$$