Решите уравнение: \(\frac{2x-2}{x+3} - \frac{x+3}{3-x} = 5\)

Решение:

Данное уравнение:

\[ \frac{2x-2}{x+3} - \frac{x+3}{3-x} = 5 \]

Перепишем вторую дробь, вынеся минус из знаменателя:

\[ \frac{2x-2}{x+3} - \frac{x+3}{-(x-3)} = 5 \]

Изменим знак перед второй дробью:

\[ \frac{2x-2}{x+3} + \frac{x+3}{x-3} = 5 \]

Приведём к общему знаменателю \( (x+3)(x-3) \) :

\[ \frac{(2x-2)(x-3)}{(x+3)(x-3)} + \frac{(x+3)(x+3)}{(x+3)(x-3)} = 5 \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ \frac{2x^2 - 6x - 2x + 6 + x^2 + 6x + 9}{(x+3)(x-3)} = 5 \]

Упростим числитель:

\[ \frac{3x^2 - 2x + 15}{(x+3)(x-3)} = 5 \]

Раскроем скобки в знаменателе:

\[ \frac{3x^2 - 2x + 15}{x^2 - 9} = 5 \]

Умножим обе части на \( x^2 - 9 \) (при условии, что \( x \neq \pm 3 \)):

\[ 3x^2 - 2x + 15 = 5(x^2 - 9) \]

Раскроем скобки в правой части:

\[ 3x^2 - 2x + 15 = 5x^2 - 45 \]

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 5x^2 - 3x^2 + 2x - 15 - 45 = 0 \]

Упростим:

\[ 2x^2 + 2x - 60 = 0 \]

Разделим всё уравнение на 2:

\[ x^2 + x - 30 = 0 \]

Решим квадратное уравнение, используя дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 11}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

\( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 11}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \]

Проверим, что найденные корни не равны \( \pm 3 \). Оба корня подходят.

Ответ: x₁ = 5, x₂ = -6.