Решите уравнение: \( \frac{2}{(8x-9)^2} - \frac{3}{8x-9} + 1 = 0 \)

Решение:

Обозначим \( y = \frac{1}{8x-9} \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 2y^2 - 3y + 1 = 0 \]

Это квадратное уравнение относительно \( y \). Найдём его корни:

\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \]

\[ y_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3+1}{4} = 1 \]

\[ y_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3-1}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 \]

Теперь вернёмся к исходной переменной \( x \).

Случай 1: \( y = 1 \)

\[ \frac{1}{8x-9} = 1 \]

\[ 8x-9 = 1 \]

\[ 8x = 10 \]

\[ x = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1.25 \]

Случай 2: \( y = 0.5 \)

\[ \frac{1}{8x-9} = 0.5 \]

\[ 8x-9 = \frac{1}{0.5} = 2 \]

\[ 8x = 11 \]

\[ x = \frac{11}{8} = 1.375 \]

Ответ: \( x = 1.25 \) или \( x = 1.375 \).