Решите уравнение: \(\frac{112}{x} - \frac{112}{x+9} = 4\)

Решение:

1. Приведём дроби к общему знаменателю \( x(x+9) \):
   \(\frac{112(x+9) - 112x}{x(x+9)} = 4\)
2. Раскроем скобки в числителе:
   \(\frac{112x + 1008 - 112x}{x(x+9)} = 4\)
3. Упростим числитель:
   \(\frac{1008}{x(x+9)} = 4\)
4. Умножим обе части уравнения на \( x(x+9) \) (при условии \( x \neq 0 \) и \( x \neq -9 \)):
   \(1008 = 4x(x+9)\)
5. Разделим обе части на 4:
   \(252 = x(x+9)\)
6. Раскроем скобки и перенесём всё в одну сторону:
   \(252 = x^2 + 9x\)
   \(x^2 + 9x - 252 = 0\)
7. Решим квадратное уравнение, используя дискриминант:
   \(a=1, b=9, c=-252\)
   \[ D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-252) = 81 + 1008 = 1089 \]
   \[ \sqrt{D} = \sqrt{1089} = 33 \]
8. Найдем корни:
   \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + 33}{2 \cdot 1} = \frac{24}{2} = 12 \]
   \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - 33}{2 \cdot 1} = \frac{-42}{2} = -21 \]
9. Проверим, что корни не равны 0 и -9. Оба корня подходят.

Ответ: \( x_1 = 12, x_2 = -21 \).