Решите уравнение: \(\frac{1}{x-4} + \frac{7}{x+1} = 1 - \frac{35}{x^2 - 3x - 4}\) Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Решение:

• Первым делом, приведем знаменатели к общему виду. Заметим, что \(x^2 - 3x - 4 = (x-4)(x+1)\).
• Теперь умножим обе части уравнения на общий знаменатель \((x-4)(x+1)\), предварительно определив ОДЗ: \(x
  eq 4\) и \(x
  eq -1\).
• Уравнение примет вид: \((x+1) + 7(x-4) = (x-4)(x+1) - 35\)
• Раскроем скобки: \(x + 1 + 7x - 28 = x^2 + x - 4x - 4 - 35\)
• Упростим: \(8x - 27 = x^2 - 3x - 39\)
• Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \(x^2 - 3x - 8x - 39 + 27 = 0\)
• \(x^2 - 11x - 12 = 0\)
• Найдем корни квадратного уравнения. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = 11\) и \(x_1 \cdot x_2 = -12\).
• Подбираем корни: \(x_1 = 12\) и \(x_2 = -1\).
• Проверяем по ОДЗ: \(x = -1\) не подходит, так как знаменатель обращается в ноль.
• Остается один корень: \(x = 12\).

Ответ: 12