Решите уравнение \(\frac{1}{x^2} + \frac{4}{x} - 12 = 0\).

Решение:

Это дробно-рациональное уравнение. Чтобы его решить, сначала избавимся от дробей, умножив обе части уравнения на общий знаменатель, который равен \(x^2\).

Шаг 1: Умножим уравнение на \(x^2\).

Убедимся, что \(x
eq 0\), так как деление на ноль не допускается.

\[ x^2 \left( \frac{1}{x^2} + \frac{4}{x} - 12 \right) = x^2 \cdot 0 \]\[ 1 + 4x - 12x^2 = 0 \]

Шаг 2: Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения.

Переставим члены, чтобы получить \(ax^2 + bx + c = 0\).

\[ -12x^2 + 4x + 1 = 0 \]

Для удобства можно умножить на -1, чтобы коэффициент при \(x^2\) стал положительным:

\[ 12x^2 - 4x - 1 = 0 \]

Шаг 3: Найдем дискриминант квадратного уравнения.

Формула дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем уравнении \(a=12\), \(b=-4\), \(c=-1\).

\[ D = (-4)^2 - 4(12)(-1) \]\[ D = 16 + 48 \]\[ D = 64 \]

Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения.

Формула корней: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

\[ x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2(12)} = \frac{4 + 8}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} \] \[ x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2(12)} = \frac{4 - 8}{24} = \frac{-4}{24} = -\frac{1}{6} \]

Шаг 5: Проверим, не равны ли корни нулю.

Полученные корни \(x_1 = \frac{1}{2}\) и \(x_2 = -\frac{1}{6}\) не равны нулю, поэтому они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: \(x_1 = \frac{1}{2}\), \(x_2 = -\frac{1}{6}\).