Решите уравнение: \(\frac{1}{2x-3} + \frac{1}{x-1} = 2\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Решение:

1. Приведем уравнение к общему знаменателю. Для этого умножим обе части уравнения на \((2x-3)(x-1)\), при условии, что \(x
   eq \frac{3}{2}\) и \(x
   eq 1\).
• \[ (x-1) + (2x-3) = 2(2x-3)(x-1) \]
2. Раскроем скобки и упростим уравнение.
• \[ x - 1 + 2x - 3 = 2(2x^2 - 2x - 3x + 3) \]
• \[ 3x - 4 = 2(2x^2 - 5x + 3) \]
• \[ 3x - 4 = 4x^2 - 10x + 6 \]
3. Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\).
• \[ 4x^2 - 10x - 3x + 6 + 4 = 0 \]
• \[ 4x^2 - 13x + 10 = 0 \]
4. Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта.
• \[ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4(4)(10) = 169 - 160 = 9 \]
• \[ \sqrt{D} = \sqrt{9} = 3 \]
5. Найдем корни уравнения.
• \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 3}{2(4)} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} \]
• \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 3}{2(4)} = \frac{16}{8} = 2 \]
6. Проверим, не равны ли корни недопустимым значениям (\(\frac{3}{2}\) и 1). Оба корня допустимы.
7. Так как уравнение имеет два корня, согласно условию, нужно указать меньший из них.
• \[ \frac{5}{4} = 1.25 \]
• \[ 2 \]
• Меньший корень — \(\frac{5}{4}\).

Ответ: 5/4