Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ укажите меньший из них.

Решение:

Дано уравнение: \( \frac{1}{x} - \frac{2x}{x+1} = 0 \)

1. Приведём уравнение к общему знаменателю, которым является \( x(x+1) \). При этом нужно учесть, что \( x \neq 0 \) и \( x \neq -1 \).
2. Умножим числитель первой дроби на \( x+1 \), а числитель второй дроби на \( x \): \[ \frac{1(x+1)}{x(x+1)} - \frac{2x(x)}{x(x+1)} = 0 \]
3. Запишем уравнение с общим числителем: \[ \frac{x+1 - 2x^2}{x(x+1)} = 0 \]
4. Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Следовательно, решаем квадратное уравнение: \[ -2x^2 + x + 1 = 0 \]
5. Умножим уравнение на -1 для удобства: \[ 2x^2 - x - 1 = 0 \]
6. Найдём дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 \]
7. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.
8. Найдём корни по формуле: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{1+3}{4} = \frac{4}{4} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{1-3}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5 \]
9. Проверим, что найденные корни не равны \( 0 \) и \( -1 \). \( 1 \) и \( -0.5 \) не равны \( 0 \) и \( -1 \).
10. Сравним корни и выберем меньший: \( -0.5 < 1 \).

Ответ: -0.5