Решите уравнение \(\cos 7x-\sqrt{3}\cdot\sin 7x=-\sqrt{2}\) на промежутке \(\left[\frac{2\pi}{5};\frac{6\bar{\pi}}{7}\right]\).

Преобразуем левую часть по формуле приведения к одной тригонометрической функции:

\[\cos 7x-\sqrt{3}\sin 7x=2\left(\frac12\cos 7x-\frac{\sqrt3}{2}\sin 7x\right)=2\cos\left(7x+\frac{\pi}{3}\right).\]

Тогда

\[2\cos\left(7x+\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt2,\qquad \cos\left(7x+\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}.\]

Следовательно,

\[7x+\frac{\pi}{3}=\frac{3\pi}{4}+2\pi k\quad\text{или}\quad 7x+\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.\]

Отсюда

\[x=\frac{5\pi}{84}+\frac{2\pi k}{7}\quad\text{или}\quad x=\frac{11\pi}{84}+\frac{2\pi k}{7}.\]

Проверка на отрезке \(\left[\frac{2\pi}{5};\frac{6\pi}{7}\right]\):

\[\frac{2\pi}{5}\le \frac{5\pi}{84}+\frac{2\pi k}{7}\le\frac{6\pi}{7}\Rightarrow k=2,3;\]

\[\frac{2\pi}{5}\le \frac{11\pi}{84}+\frac{2\pi k}{7}\le\frac{6\pi}{7}\Rightarrow k=2,3.\]

Получаем решения:

\[x=\frac{53\pi}{84},\ \frac{77\pi}{84}=\frac{11\pi}{12},\ \frac{59\pi}{84},\ \frac{83\pi}{84}.\]

Ответ: \(x\in\left\{\frac{59\pi}{84},\frac{53\pi}{84},\frac{11\pi}{12},\frac{83\pi}{84}\right\}\).