Решите уравнение: a) tg x=tg 3x; б) tg x+ \( \frac{\cos x}{1+\sin x} = 1 \); в) sin 3x = cos x.

Решение:

а) Решим уравнение \( \tan x = \tan 3x \).

1. Общее решение уравнения \( \tan A = \tan B \) имеет вид \( A = B + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
2. Применяя эту формулу, получаем: \( x = 3x + \pi n \).
3. Перенесём \( 3x \) в левую часть: \( x - 3x = \pi n \), то есть \( -2x = \pi n \).
4. Разделим обе части на -2: \( x = -\frac{\pi n}{2} \).
5. Так как \( n \) — любое целое число, то \( -n \) также любое целое число. Обозначим \( k = -n \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
6. Тогда решение можно записать как \( x = \frac{\pi k}{2} \).

б) Решим уравнение \( \tan x + \frac{\cos x}{1+\sin x} = 1 \).

1. Преобразуем дробь \( \frac{\cos x}{1+\sin x} \). Умножим числитель и знаменатель на \( 1 - \sin x \): \( \frac{\cos x (1 - \sin x)}{(1+\sin x)(1 - \sin x)} = \frac{\cos x (1 - \sin x)}{1 - \sin^2 x} = \frac{\cos x (1 - \sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1 - \sin x}{\cos x} \).
2. Теперь уравнение примет вид: \( \tan x + \frac{1 - \sin x}{\cos x} = 1 \).
3. Запишем \( \tan x \) как \( \frac{\sin x}{\cos x} \): \( \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{1 - \sin x}{\cos x} = 1 \).
4. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{\sin x + 1 - \sin x}{\cos x} = 1 \), то есть \( \frac{1}{\cos x} = 1 \).
5. Из этого следует, что \( \cos x = 1 \).
6. Решением уравнения \( \cos x = 1 \) является \( x = 2\pi m \), где \( m \in \mathbb{Z} \).
7. Проверим, не нарушаются ли ограничения. Знаменатель \( 1+\sin x \) не должен быть равен нулю, то есть \( \sin x \neq -1 \). При \( x = 2\pi m \), \( \sin x = 0 \), что не равно -1. Знаменатель \( \cos x \) не должен быть равен нулю. При \( x = 2\pi m \), \( \cos x = 1 \), что не равно 0.

в) Решим уравнение \( \sin 3x = \cos x \).

1. Запишем \( \cos x \) как \( \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right) \).
2. Уравнение примет вид: \( \sin 3x = \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right) \).
3. Общее решение уравнения \( \sin A = \sin B \) имеет два случая: \( A = B + 2\pi n \) или \( A = \pi - B + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
4. Первый случай: \( 3x = \frac{\pi}{2} - x + 2\pi n \).
5. Перенесём \( -x \) в левую часть: \( 3x + x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), то есть \( 4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \).
6. Разделим обе части на 4: \( x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} \).
7. Второй случай: \( 3x = \pi - \left(\frac{\pi}{2} - x\right) + 2\pi n \).
8. \( 3x = \pi - \frac{\pi}{2} + x + 2\pi n \), то есть \( 3x = \frac{\pi}{2} + x + 2\pi n \).
9. Перенесём \( x \) в левую часть: \( 3x - x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), то есть \( 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \).
10. Разделим обе части на 2: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \).

Ответ: а) \( x = \frac{\pi k}{2} \), \( k \in \mathbb{Z} \); б) \( x = 2\pi m \), \( m \in \mathbb{Z} \); в) \( x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} \) или \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).