Решите уравнение: а) \(\frac{x^2}{x+4} = \frac{2x}{x+4}\) б) \(\frac{x^2}{x^2 - 25} = \frac{5-4x}{x^2 - 25}\) в) \(\frac{15}{8-x} = x\) г) \(\frac{2}{2-3x} = x+1\)

Решение:

а) \(\frac{x^2}{x+4} = \frac{2x}{x+4}\)

1. Приведём уравнение к общему знаменателю, перенеся все члены в одну сторону: \(\frac{x^2}{x+4} - \frac{2x}{x+4} = 0\)
2. \(\frac{x^2 - 2x}{x+4} = 0\)
3. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: \(x^2 - 2x = 0\) и \(x+4 \neq 0\).
4. Решим числитель: \(x(x-2) = 0\). Отсюда \(x=0\) или \(x=2\).
5. Проверим условие \(x+4 \neq 0\): \(x \neq -4\). Оба корня \(x=0\) и \(x=2\) удовлетворяют этому условию.

Ответ: x = 0, x = 2.

б) \(\frac{x^2}{x^2 - 25} = \frac{5-4x}{x^2 - 25}\)

1. Приведём уравнение к общему знаменателю: \(\frac{x^2}{x^2 - 25} - \frac{5-4x}{x^2 - 25} = 0\)
2. \(\frac{x^2 - (5-4x)}{x^2 - 25} = 0\)
3. \(\frac{x^2 + 4x - 5}{x^2 - 25} = 0\)
4. Числитель должен быть равен нулю: \(x^2 + 4x - 5 = 0\). Знаменатель не должен быть равен нулю: \(x^2 - 25 \neq 0\), то есть \(x \neq 5\) и \(x \neq -5\).
5. Решим квадратное уравнение \(x^2 + 4x - 5 = 0\). Дискриминант \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\).
6. Корни: \(x_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-4+6}{2} = 1\) и \(x_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-4-6}{2} = -5\).
7. Проверяем условие \(x \neq 5\) и \(x \neq -5\). Корень \(x_2 = -5\) не подходит, так как обнуляет знаменатель.

Ответ: x = 1.

в) \(\frac{15}{8-x} = x\)

1. Умножим обе части уравнения на \((8-x)\), предварительно установив условие \(8-x \neq 0\), то есть \(x \neq 8\).
2. \(15 = x(8-x)\)
3. \(15 = 8x - x^2\)
4. Перенесём всё в одну сторону: \(x^2 - 8x + 15 = 0\)
5. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \(D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4\).
6. Корни: \(x_1 = \frac{8 + \sqrt{4}}{2} = \frac{8+2}{2} = 5\) и \(x_2 = \frac{8 - \sqrt{4}}{2} = \frac{8-2}{2} = 3\).
7. Оба корня \(x=5\) и \(x=3\) удовлетворяют условию \(x \neq 8\).

Ответ: x = 3, x = 5.

г) \(\frac{2}{2-3x} = x+1\)

1. Умножим обе части уравнения на \((2-3x)\), предварительно установив условие \(2-3x \neq 0\), то есть \(x \neq \frac{2}{3}\).
2. \(2 = (x+1)(2-3x)\)
3. \(2 = 2x - 3x^2 + 2 - 3x\)
4. \(2 = -3x^2 - x + 2\)
5. Перенесём всё в одну сторону: \(3x^2 + x = 0\)
6. Вынесем \(x\) за скобки: \(x(3x + 1) = 0\).
7. Отсюда \(x=0\) или \(3x+1=0\), что даёт \(x = -\frac{1}{3}\).
8. Оба корня \(x=0\) и \(x=-\frac{1}{3}\) удовлетворяют условию \(x \neq \frac{2}{3}\).

Ответ: x = 0, x = -1/3.