Решите уравнение: 5^{3x} - 2 · 5^{3x-1} - 3 · 5^{3x-2} = 60

Решение:

1. Представим члены уравнения, используя свойства степеней:




• \( 5^{3x-1} = 5^{3x} · 5^{-1} = \frac{5^{3x}}{5} \)


• \( 5^{3x-2} = 5^{3x} · 5^{-2} = \frac{5^{3x}}{25} \)




2. Подставим полученные выражения в исходное уравнение:



\( 5^{3x} - 2 · \frac{5^{3x}}{5} - 3 · \frac{5^{3x}}{25} = 60 \)



3. Вынесем \( 5^{3x} \) за скобки:



\( 5^{3x} \left( 1 - \frac{2}{5} - \frac{3}{25} \right) = 60 \)



4. Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:



\( 1 - \frac{2}{5} - \frac{3}{25} = \frac{25}{25} - \frac{10}{25} - \frac{3}{25} = \frac{25 - 10 - 3}{25} = \frac{12}{25} \)



5. Подставим обратно в уравнение:



\( 5^{3x} · \frac{12}{25} = 60 \)



6. Выразим \( 5^{3x} \):



\( 5^{3x} = 60 · \frac{25}{12} \)



7. Упростим:



\( 5^{3x} = 5 · 25 \)




\( 5^{3x} = 5 · 5^2 \)




\( 5^{3x} = 5^3 \)



8. Приравниваем показатели степени:



\( 3x = 3 \)



9. Находим \( x \):



\( x = \frac{3}{3} \)




\( x = 1 \)

Ответ: x = 1.