Решите уравнение 4: √x^2 + 2x + √x^2 - 4 = 0

Решение:

Данное уравнение состоит из двух квадратных корней, сумма которых равна нулю. Это возможно только в том случае, если оба корня равны нулю.

1. Приравняем первый корень к нулю:
   \( \sqrt{x^2 + 2x} = 0 \)
   Возведём обе части в квадрат:
   \( x^2 + 2x = 0 \)
   Вынесем общий множитель \( x \):
   \( x(x + 2) = 0 \)
   Отсюда получаем два возможных значения \( x \): \( x = 0 \) или \( x = -2 \).
2. Приравняем второй корень к нулю:
   \( \sqrt{x^2 - 4} = 0 \)
   Возведём обе части в квадрат:
   \( x^2 - 4 = 0 \)
   \( x^2 = 4 \)
   Отсюда получаем два возможных значения \( x \): \( x = 2 \) или \( x = -2 \).
3. Чтобы исходное уравнение имело решение, значение \( x \) должно удовлетворять обоим условиям одновременно. Сравним полученные значения: \( x = 0, x = -2 \) и \( x = 2, x = -2 \).
4. Единственное значение \( x \), которое удовлетворяет обоим условиям, это \( x = -2 \).

Проверим полученное решение:

При \( x = -2 \):

Первый корень: \( \sqrt{(-2)^2 + 2(-2)} = \sqrt{4 - 4} = \sqrt{0} = 0 \)

Второй корень: \( \sqrt{(-2)^2 - 4} = \sqrt{4 - 4} = \sqrt{0} = 0 \)

Сумма корней: \( 0 + 0 = 0 \). Уравнение выполняется.

Ответ: x = -2.