Решите уравнение: 4^x + 2 * 2^x - 80 = 0

Решение:

Для решения данного уравнения, заметим, что \( 4^x \) можно представить как \( (2^2)^x = (2^x)^2 \).

Пусть \( y = 2^x \). Тогда исходное уравнение примет вид:

\[ y^2 + 2y - 80 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение относительно \( y \). Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324 \]

Найдем \( \sqrt{D} \):

\[ \sqrt{324} = 18 \]

Теперь найдем корни \( y_1 \) и \( y_2 \):

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 18}{2 \cdot 1} = \frac{16}{2} = 8 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 18}{2 \cdot 1} = \frac{-20}{2} = -10 \]

Теперь вернемся к замене \( y = 2^x \).

Рассмотрим первый случай: \( y_1 = 8 \).

\[ 2^x = 8 \]

\[ 2^x = 2^3 \]

\[ x = 3 \]

Рассмотрим второй случай: \( y_2 = -10 \).

\[ 2^x = -10 \]

Так как степень числа \( 2 \) всегда положительна, это уравнение не имеет решений.

Таким образом, единственным решением уравнения является \( x = 3 \).

Ответ: 3