Решите уравнение √3x² +7x - 4 =-x Выберите один ответ: a. - 4 Ob. - 4 или 0,5; O c. решения нет; Od. 0,5;

Решение:

Дано уравнение: \( \sqrt{3x^2 + 7x - 4} = -x \)

Для того чтобы уравнение имело решение, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а правая часть (то есть \( -x \)) должна быть неотрицательной.

1. Неотрицательность подкоренного выражения:
   \( 3x^2 + 7x - 4 \ge 0 \)
   Найдем корни квадратного трехчлена \( 3x^2 + 7x - 4 = 0 \):
   \( D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 49 + 48 = 97 \)
   \( x_1 = \frac{-7 - \sqrt{97}}{6} \approx \frac{-7 - 9.85}{6} \approx -2.79 \)
   \( x_2 = \frac{-7 + \sqrt{97}}{6} \approx \frac{-7 + 9.85}{6} \approx 0.475 \)
   Значит, \( x \in \left(-\infty; \frac{-7 - \sqrt{97}}{6}\right] \cup \left[\frac{-7 + \sqrt{97}}{6}; \infty\right) \).
2. Неотрицательность правой части:
   \( -x \ge 0 \)
   \( x \le 0 \).
3. Возведем обе части уравнения в квадрат:
   \( 3x^2 + 7x - 4 = (-x)^2 \)
   \( 3x^2 + 7x - 4 = x^2 \)
   \( 2x^2 + 7x - 4 = 0 \)
   Найдем корни этого квадратного уравнения:
   \( D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 \)
   \( x_3 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4 \)
   \( x_4 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 \)
4. Проверим полученные корни на соответствие условиям неотрицательности:
   Для \( x = -4 \):
   Условие 1: \( 3(-4)^2 + 7(-4) - 4 = 3(16) - 28 - 4 = 48 - 28 - 4 = 16 \ge 0 \) (верно).
   Условие 2: \( -(-4) = 4 \ge 0 \) (верно).
   Значит, \( x = -4 \) — корень уравнения.
   
   Для \( x = 0.5 \):
   Условие 1: \( 3(0.5)^2 + 7(0.5) - 4 = 3(0.25) + 3.5 - 4 = 0.75 + 3.5 - 4 = 4.25 - 4 = 0.25 \ge 0 \) (верно).
   Условие 2: \( -(0.5) = -0.5 \ge 0 \) (неверно).
   Значит, \( x = 0.5 \) — посторонний корень.

Ответ: - 4.