Решите уравнение: (3x+4)(3x-4)-(3x+2) = -11

Решение:

1. Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) и квадрат разности \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) или просто перемножив множители.
2. Первое произведение: \( (3x+4)(3x-4) = (3x)^2 - 4^2 = 9x^2 - 16 \).
3. Второе выражение: \( -(3x+2) = -3x - 2 \).
4. Подставим раскрытые выражения в уравнение: \( 9x^2 - 16 - 3x - 2 = -11 \).
5. Приведём подобные слагаемые: \( 9x^2 - 3x - 18 = -11 \).
6. Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения: \( 9x^2 - 3x - 18 + 11 = 0 \).
7. Упростим уравнение: \( 9x^2 - 3x - 7 = 0 \).
8. Теперь решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант по формуле \( D = b^2 - 4ac \), где \( a = 9 \), \( b = -3 \), \( c = -7 \).
9. \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-7) = 9 + 252 = 261 \).
10. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня.
11. Найдём корни по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):
12. \( x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{261}}{2 \cdot 9} = \frac{3 + \sqrt{261}}{18} \).
13. \( x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{261}}{2 \cdot 9} = \frac{3 - \sqrt{261}}{18} \).
14. Можно упростить \( \sqrt{261} \), так как \( 261 = 9 \cdot 29 \), то \( \sqrt{261} = \sqrt{9 \cdot 29} = 3\sqrt{29} \).
15. Тогда корни будут:
16. \( x_1 = \frac{3 + 3\sqrt{29}}{18} = \frac{3(1 + \sqrt{29})}{18} = \frac{1 + \sqrt{29}}{6} \).
17. \( x_2 = \frac{3 - 3\sqrt{29}}{18} = \frac{3(1 - \sqrt{29})}{18} = \frac{1 - \sqrt{29}}{6} \).

Ответ: x₁ = \( \frac{1 + \sqrt{29}}{6} \), x₂ = \( \frac{1 - \sqrt{29}}{6} \).