Решите уравнение 3 sin²x - cos² x - 1 = 0 (выучить все тригонометрические формулы в предыдущем занятии)

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), откуда \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \). Подставим это в уравнение:

• \( 3 \sin^2 x - (1 - \sin^2 x) - 1 = 0 \)
• \( 3 \sin^2 x - 1 + \sin^2 x - 1 = 0 \)
• \( 4 \sin^2 x - 2 = 0 \)
• \( 4 \sin^2 x = 2 \)
• \( \sin^2 x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
• \( \sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \)

Теперь найдём значения \( x \). Уравнение \( \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} \) имеет решения \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \) и \( x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \). Уравнение \( \sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}} \) имеет решения \( x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \) и \( x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n \).

Все эти решения можно объединить в две серии:

• \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \)
• \( x = \frac{3\pi}{4} + \pi n \)

Если сгруппировать все решения, то получим \( x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n \). Это соответствует варианту b.

Ответ: x = ± π 4 + πn