Решите уравнение √3 ctg(x – п) – 1 = 0. В ответ укажите количество корней, принадлежащих промежутку [— π; 3π/2].

Решение:

1. Приведем уравнение к более простому виду:
   \[ \sqrt{3} \operatorname{ctg}(x - \pi) - 1 = 0 \]
   \[ \sqrt{3} \operatorname{ctg}(x - \pi) = 1 \]
   \[ \operatorname{ctg}(x - \pi) = \frac{1}{\sqrt{3}} \]
2. Найдем общее решение уравнения:
   Так как $$\operatorname{ctg}(\alpha) = \operatorname{ctg}(\alpha - \pi)$$, то $$\operatorname{ctg}(x - \pi) = \operatorname{ctg}(x)$$.
   Следовательно, уравнение принимает вид:
   \[ \operatorname{ctg}(x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \]
   Общее решение этого уравнения:
   \[ x = \frac{\pi}{3} + \pi n \], где $$n \in \mathbb{Z}$$.
3. Найдем корни на заданном промежутке:
   Нам нужно найти значения $$n$$, при которых корни $$x$$ попадают в промежуток $$[-\pi; \frac{3\pi}{2}]$$.
   \[ -\pi \le \frac{\pi}{3} + \pi n \le \frac{3\pi}{2} \]
   Разделим все части неравенства на $$\pi$$:
   \[ -1 \le \frac{1}{3} + n \le \frac{3}{2} \]
   Вычтем $$\frac{1}{3}$$ из всех частей:
   \[ -1 - \frac{1}{3} \le n \le \frac{3}{2} - \frac{1}{3} \]
   \[ -\frac{4}{3} \le n \le \frac{9}{6} - \frac{2}{6} \]
   \[ -1.33... \le n \le \frac{7}{6} \]
   \[ -1.33... \le n \le 1.16... \]
4. Определим целые значения n:
   Целые значения $$n$$ в этом промежутке: $$n = -1, 0, 1$$.
5. Вычислим соответствующие корни:
   При $$n = -1$$: $$x = \frac{\pi}{3} + \pi(-1) = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$$.
   При $$n = 0$$: $$x = \frac{\pi}{3} + \pi(0) = \frac{\pi}{3}$$.
   При $$n = 1$$: $$x = \frac{\pi}{3} + \pi(1) = \frac{4\pi}{3}$$.
6. Проверка принадлежности корней промежутку:
   $$- \pi \approx -3.14$$, $$3\pi/2 \approx 4.71$$.
   $$-2\pi/3 \approx -2.09$$, лежит в $$[-\pi; 3\pi/2]$$.
   $$\pi/3 \approx 1.05$$, лежит в $$[-\pi; 3\pi/2]$$.
   $$4\pi/3 \approx 4.19$$, лежит в $$[-\pi; 3\pi/2]$$.

Ответ: 3